Если исходная генеральная совокупность нормальная, то выборочное распределение выборочных средних также будет нормальным. Если генеральная совокупность имеет среднюю величину и стандартное отклонение а, то выборочное распределение средних будет иметь среднюю величину, и стандартную ошибку Из центральной предельной теоремы известно, что данные утверждения справедливы для ненормальной генеральной совокупности, если объем выборки а не меньше 30.

Если мы отобрали единиц из генеральной совокупности и нашли среднюю величину по выборке х, то х может быть использовано для оценки генеральной средней Насколько надежна эта оценка?

Рис. 5.1. Выборочное распределение выборочных средних х для выборок объема взятых из нормальной генеральной совокупности со средней величиной и дисперсной

На рис. 5.1 показано выборочное распределение выборочных средних. Величины расположены симметрично относительно генеральной средний величины. Площадь под кривой, ограниченная этими пределами, включает 95% выборочного распределения. Область ниже изгиба кривой до величины включает 2,5% и область ниже изгиба кривой после величины распределения. Следовательно, мы можем сказать, что выборочная совокупность единиц, взятая из нашей исходной генеральной совокупности, с вероятностью 95% будет иметь среднюю величину, лежащую между

Средняя величина со стандарной ошибкой находится на расстоянии ниже генеральной средней а средняя величина находится на таком же расстоянии выше

Поскольку интервал между включает 95% распределения, мы можем определить из таблицы нормального распределения, что соответствует 1,96 стандартных ошибок выше средней соответствует 1,96 стандартных ошибок ниже средней

Поэтому расстояние от до может быть записано как:

Обычно мы проводим всего одну выборку из генеральной совокупности; рассчитываем среднее значение выборки х и используем его для вывода о среднем

значении генеральной совокупности из которой была взята выборка. На 95% мы уверены, что наше единственное значение х лежит между Если х действительно попадает в интервал между и то тогда должно находиться где-нибудь в пределе:

Мы можем сказать, что уверены в этом на 95%. Следовательно, является доверительным интервалом для среднего значения генеральной совокупности с вероятностью 95%. Если, например, х точно равно то находится правее точки Если х меньше то не лежит в доверительном интервале. В этом случае мы выбрали одну из 5% выборочных совокупностей, для которой вывод, сделанный выше, неверен. Мы ограничились 95% выборочного распределения. Это был совершенно субъективный выбор. Может быть использован любой размер интервала и любая степень уверенности, что мы в нее попадем в зависимости от того, насколько мы хотим быть уверены, что среднее значение генеральной совокупности лежит внутри указанного интервала. Типичными являются 90%, 95% или 99%-ный доверительные интервалы. Какую бы величину мы не выбрали, построение доверительного интервала остается тем же. Единственная разница возникает в значении стандартизованной нормальной переменной Следовательно, общая формула доверительного интервала для генеральной средней имеет вид:

где — величина стандартизованной нормальной переменной, выше которой лежит значений. Это дает доверительный интервал. Например, если нам требуется найти доверительный интервал с вероятностью 95%, то тогда и доверительный интервал может быть записан как:

Если известно стандартное отклонение генеральной совокупности то, тогда стандартная ошибка распределения выборочных средних находится по формуле:

доверительный интервал для генеральной средней может быть записан как:

Пример 5.1. Импортер упаковывает чай в пакеты по Известно, что наполняющая машина работает со стандартным отклонением , равным Выборка 50 пакетов показала средний вес

Найти доверительный интервал для среднего веса а в генеральной совокупности с вероятностью 95%. Предположим, что пакеты чая распределены по весу.

Доверительный интервал с вероятностью 95% для среднего значения генеральной совокупности находится по формуле:

где 1,96 является числом стандартных ошибок выше и ниже среднего значения для интервала, включающего 95% нормального распределения. Следовательно, доверительный интервал для генеральной средней находится как:

Мы на 95% уверены, что средний вес пачки чая в генеральной совокупности находится между двумя значениями: 125,73 г. и 131,27 г. Интервал составляет примерно среднего веса пачки чая в выборке, который равен Это не очень большое отклонение для данного примера. Следовательно, среднее значение выборки может считаться надежной оценкой среднего значения генеральной совокупности. Однако необходимо помнить, что в 5% случаев мы можем ошибиться и получить значение вне доверительного интервала.

Пример 5.2. Машина, которая упаковывает сахар, долгое время обеспечивала нормальное распределение веса в наполняемых пакетах. Стандартное отклонение веса а равнялось Был установлен новый размер упаковок. Для контроля была проведена случайная выборка 20 новых пакетов. Средний вес пакетов в выборке Предполагая, что переход на новую упаковку не повлиял на колебаемость наполняемости пакетов, найдем доверительный интервал для среднего веса упаковки в генеральной совокупности с вероятностью 99%.

Доверительный интервал для генеральной средней с вероятностью 99% находится следующим образом:

где число стандартных ошибок выше и ниже среднего значения соответствует интервалу, который включает 99% нормального распределения. Тогда доверительный интервал с вероятностью 99% составит:

Мы на 99% уверены, что средний вес упаковки сахара генеральной совокупности находится в пределах от до Размах в составляет примерно ±0,1% среднего значения наполняемости в выборке (1002). 0,1% колеблемости в весе упаковки невелико, следовательно, среднее значение выборки

может считаться точной оценкой среднего значения генеральной совокупности. Следовательно, мы можем ошибиться в одном из 100 случаев и может оказаться вне доверительного интервала.