Закон распределения оценки математического ожидания близок к нормальному (распределение суммы независимых случайных величин с конечной дисперсией асимптотически нормально).

Если потребовать абсолютную надежность оценки математического ожидания, то границы доверительного интервала будут бесконечными [– ∞, +∞]. Выбор любых более узких границ связан с риском ошибки, вероятность которой определяется уровнем значимости a. Интерес представляет максимальная точность оценки, т.е. наименьшее значение интервала. Для симметричных функций минимальный интервал тоже будет симметричным относительно оценки m_x. В этом случае выражение для доверительной вероятности имеет вид

Нормальный закон полностью определяется двумя параметрами – математическим ожиданием и дисперсией. Величина m * _x является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания, поэтому ее значение принимаем за значение математического ожидания. Определим оценку дисперсии случайного параметра m * _x, учитывая, что этот параметр равен среднему арифметическому одинаково распределенных случайных величин x_i (следовательно, их дисперсии D(x_i) одинаковы и равны S 2 )

.

Итак, случайная величина m * _x распределена по нормальному закону с параметрами m * _x и S 2 /n. Для установления необходимых соотношений целесообразно перейти к центрированным и нормированным величинам. Выражение m * _x – m_x можно трактовать как центрирование случайной величины m * _x. Нормирование осуществляется делением на величину среднеквадратического отклонения оценки m * ₁

Для стандартизованной величины вероятность соблюдения неравенства определяется по функции нормального распределения

где Значение β равно квантили u_1–a/2 стандартного нормального распределения уровня 1– a/2. В частности, уровням надежности 0,9, 0,95 и 0,99 соответствуют значения допустимого отклонения u_{1– a/2} величины z, равные 1,64, 1,96 и 2,58 соответственно. Окончательно можно записать

Нетрудно заметить, что это выражение аналогично по своему содержанию формуле, полученной с использованием общего метода построения доверительного интервала.

При фиксированном объеме выборки из (4.1) следует, что чем больше доверительная вероятность 1– a, тем шире границы доверительного интервала (тем больше ошибка в оценке математического ожидания). Это равенство позволяет определить необходимый объем выборки для получения оценки математического ожидания с заданной надежностью и требуемой точностью (погрешностью):

Таким образом, чтобы снизить относительную погрешность на порядок, необходимо увеличить объем выборки на два порядка. Приведенная формула часто используется в статистическом моделировании для определения необходимого количества испытаний модели.

Во многих случаях предположение о нормальном распределении случайной величины m * _x становится приемлемым при n > 4 и вполне хорошо оправдывается при n >10. Оценка m * _x вполне пригодна для применения вместо m_х. Но не так обстоит дело с дисперсией, правомочность ее замены на S 2 не обоснована даже в указанных случаях. При небольшом объеме выборки, n < 30, закон распределения оценки дисперсии S 2 принимать за нормальный неоправданно. Ее распределение следует аппроксимировать распределением хи-квадрат как суммы квадратов центрированных величин (хи-квадрат распределение сходится к нормальному при количестве слагаемых, превышающем 30). Но это утверждение обосновано только для случая, когда случайная величина Х распределена нормально.

С учетом сделанных допущений величина z будет подчиняться закону распределения Стьюдента с n–1 степенями свободы (одна степень свободы использована для определения оценки дисперсии). Распределение Стьюдента симметричное, поэтому полученное соотношение между точностью, надежностью оценки и объемом выборки сохраняется, меняются только значения квантилей. Вместо квантили нормального распределения u_{1– a/2} следует взять квантиль t_{1– a/2(n–1)} распределения Стьюдента с (n–1) степенями свободы. Значения критических точек распределения Стьюдента для некоторых вероятностей и различных степеней свободы, представлены в таблицах. Сравнение таблиц показывает, что квантили распределения Стьюдента больше квантилей нормального распределения того же уровня надежности при малом n. Иначе говоря, применение нормального распределения при небольшом объеме выборки ЭД приводит к неоправданному завышению точности оценки.

Пример 4.2. Определить с надежностью g = 0,9 доверительный интервал для математического ожидания случайной величины с точечными оценками m * _х =27,51 и S 2 =0,91, n = 44.

Решение. Интервал двусторонний, симметричный a = 0,1. Объем выборки можно считать большим, поэтому воспользуемся нормальным распределением, тогда u_0,95 = 1,96. Допустимое отклонение

С вероятностью 0,9 НДГ интервала составит θ₀=27,51– 0,28=27,23, ВДГ интервала θ₁= 27,51 + 0,28 = 27,79.

Другими словами, с вероятностью 0,9 значение математического ожидания лежит в пределах от 27,23 до 27,79.

Пример 4.3. Определить с надежностью g = 0,9 (a = 0,1) доверительный интервал для математического ожидания случайной величины с точечными оценками m * _х = 55 и S 2 = 658,6. Объем выборки n=6

Решение. Объем выборки n=6 нельзя считать большим, поэтому воспользуемся распределением Стьюдента при числе степеней свободы, равном 5. Тогда для двусторонней критической области в соответствии с табл. Функции Стьюдента допустимое отклонение стандартизованной случайной величины составит

В данном примере использование нормального распределения вместо распределения Стьюдента приведет к неоправданному сужению интервала в 2,015/1,64 = 1,3 раза.