Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной зависимости осознавалась интуитивно.

Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы, отличные от методов элементарной математики.

Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных терминах это определение связано с понятием множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения множества А = <а>во множество В = <в>, по которому каждому элементу а А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия ( этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием ) . Главное в этом определении: а А ! b B . Под элементами множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.

В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений квадратных корней.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.

Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику, превратив ее в математику переменных величин.

Исследование поведения различных систем (технические , экономические , экологические и др .) часто приводит к анализу и решению уравнений, включающих как параметры системы , так и скорости их изменения , аналитическим выражением которых являются производные . Такие уравнения , содержащие производные , называются дифференциальными .

В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях производной.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение x и определяем соответствующее приращение функции y = f(x+x) -f(x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а x  0 , находим , который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при x 0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрест­ностях точки x ₀

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку гра­фика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B ( x ; f ( x )). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆ x ; ВС =∆у; tgβ =∆ y /∆ x .

Так как АС || Ox , то  ALO =  BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положи­тельному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет прибли­жаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Пре­дельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая ( a ), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tg β =∆ y /∆ x , то получим или tg  = f '( x ₀), так как  -угол накло­на касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент каса­тельной, значит, k = tg = f '( x ₀).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следую­щем:

Производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту ка­сательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.