ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Билет №1. Функции нескольких переменных

Множество R n и понятие функции нескольких переменных. График функции двух переменных. Параболоид вращения и седловая поверхность.

Определение. Величина D называется функцией нескольких независимых переменных (x, y, z, …,t), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины D.

Параболоид вращения является примером графика функции двух переменных.

Графиком функции z=x 2 +y 2 является параболоид вращения.

Седловаяповерхность (устаревшее название — антикластическая) — это гладкая поверхность, все точки которой седловые.

Седловая точка— такая точка, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом.

График функции двух переменных. Линии уровня. Примеры.

Параболоид вращения является примером графика функции двух переменных.

Графиком функции z=x 2 +y 2 является параболоид вращения.

Линией уровня функции z-f(x,y) называется множество всех точек плоскости Oxy , для которых данная функция имеет одно и то же значение: f(x,y) – C, C=const

Пример. Для функции z = x 2 +y 2 линиями уровня является семейство концентрических окружностей x 2 +y 2 =C с центром в точке (0,0) .

Поверхностью уровня (линия уровня) называется множество всех точек из области определения, в которых функция принимает одно и то же значение.

Билет №3. Понятия расстояния и окрестности в Rn . Предел и непрерывность ФНП. Функция Дирихле двух переменных.

n=1

n=2

n=3 M(x1,y1,z1) N(x2,y2,z2)

в общем случае M(x1,x2,…,xn), N(y1,y2,…,yn)

M₀=(x₁ 0 ,x₂ 0 ,…,x_n 0 ) M=(x₁,x₂,…,x_n)

n=3

Опр.1(через окрестность) Для любого ε>0 существует δ>0, что как только M€ Oδ(M₀) и M=Mo=>

тогда и только тогда, когда для любой последовательности

Пусть z=f(M), где M€D, D€R n , определена в окрестности точки Mo. Функция f(M) называется непрерывной в точке Mo, если

(Для графика это означает, что поверхность не будет иметь точек разрыва и выколотых точек)

Функция Дирихле 2х переменных(пример функции, разрывной в каждой точке)

Билет №4. Понятие частных производных и их геометрический смысл.

Рассмотрим функцию . Пусть независимая переменная y приняла постоянное значение , а переменная x изменяется. Тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной . Ее графиком является линия пересечения поверхности и плоскости .

Поскольку является функцией о.п., ее производная в точке вычисляется по формуле

Эта производная называется частной производной от ф.н.п. в точке М .Частную производную для функции можно вычислить не только при , но и при других фиксированных значениях . Кроме того, можно так же определить и частную производную .

То этот предел называется частной производной первого порядка или первой частной производной по переменной ; она обозначается следующими символами:

Аналогично определяется первая частная производная по переменной :

В геометрическом смысле производная представляет собой тангенс угла наклона касательной к кривой , в точке М . Другими словами, равна тангенсу угла между касательной и линией, параллельной оси и проходящей через точку М .