Математическая статистика - раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений случайных массовых явлений с целью выявления существующих закономерностей.

· получение выводов о наблюдаемых массовых явления или процессах на основе данных из наблюдений или опытов;

· установление закономерностей, которым подчиняются наблюдаемые явления.

Для изучения случайных величин проводится ряд независимых опытов, в которых эти случайные величины принимают определенные значения. Сами случайные величины в статистике принято называть признаками или переменными.

Изучаемые признаки могут быть качественными и количественными.

К количественным признакам применяются понятия показатель или уровень.

Например, при описании состояния больного количественным признаком могут быть температура, давление, пульс, а качественным - описание состояния больного как нормальное, средней тяжести, тяжелое.

Любое эмпирическое научное исследование начинается с того, что исследователь фиксирует выраженность интересующего его признака у объекта или объектов исследования. Измерение – это приписывание объекту числа по определенному правилу. Это правило устанавливает соответствие между измеряемым свойством и его значением.

Генеральной совокупностью называют множество всех объектов, обладающих изучаемым признаком. Число объектов генеральной совокупности называют объемом генеральной совокупности и обозначают N. Генеральная совокупность определяется задачей исследования.

Пример 1. Изучается тревожность у мужчин и женщин, работающих на каком-либо предприятии.

Пример 2.Изучается агрессивность у подростков города Томска.

Пример 3.Изучается партия психотропных таблеток, поступивших на склад, на содержание действующего вещества.

В подавляющем большинстве случаев генеральная совокупность недоступна для изучения в силу следующих причин:

· большой объем генеральной совокупности, что ведет к трудоемким и дорогостоящим исследованиям;

· недоступность всех объектов генеральной совокупности;

· изучение объекта генеральной совокупности в ряде случаев ведет к его разрушению.

В качестве примера, иллюстрирующего первые две приведенные выше причины, можно привести пример 2 (количество подростков в городе Томске велико и не все доступно для исследования). Для иллюстрации третьей причины подходит третий пример: если все таблетки партии, поступившей на склад, изучить на содержание действующего вещества, то вся партия будет уничтожена.

Чтобы не изучать всю генеральную совокупность, из нее делают выборку.

Выборкой или выборочной совокупностью называют множество объектов, отобранных случайным образом из генеральной совокупности для изучения. Количество объектов в выборке называют объемом выборки и обозначают n.

Чтобы выборка являлась хорошей моделью генеральной совокупности, она должна быть репрезентативной (или представительной). Это означает, что все объекты генеральной совокупности должны иметь одинаковые шансы попасть в выборку.

· Простой случайный отбор (в силу закона больших чисел выборка будет являться репрезентативной, если будет сделана случайным образом). Простой случайный отбор может быть повторным (объект после изучения возвращается в генеральную совокупность и может быть выбран повторно) и бесповторный (объект не возвращается в генеральную совокупность). При большом объеме N генеральной совокупности и малом относительном объеме выборки разница между повторной и бесповторной выборками незначительна.

· Стратифицированный отбор (отбор по свойствам генеральной совокупности). Стратифицированный отбор требует предварительного определения тех качеств, которые могут повлиять на изменчивость изучаемого свойства, затем определяется процентное соотношение численности групп в генеральной совокупности и обеспечивается такое же соотношение в выборке.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке, т.е. по некоторой части генеральной совокупности, выносить суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.

Пусть для изучения количественного признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка объема n.

Возможные значения признака Х называют вариантами, обозначают , где индекс обозначает номер данной варианты.

Частота варианты – это количество повторений данной варианты в выборке, обозначается . Сумма всех частот должна быть равна объему выборки:

.

Относительной частотой варианты называют отношение частоты варианты к объему выборки, обозначают ( ). Сумма всех относительных частот должна быть равна единице:

.

Вариационным рядом называют последовательность вариант, записанных в порядке возрастания.

Статистическим распределением выборки называется соответствие между вариантами и их частотами или относительными частотами .

Статистическое распределение выборки может быть представлено в виде безинтервального ряда или в виде интервального ряда.

Ø Безинтервальный (дискретный) ряд строится в том случае, когда число различных вариант мало (малый объем выборки или при большом объеме выборки мало различных вариант).

Ø Интервальный ряд строится в том случае, когда объем выборки большой, изучаемый признак непрерывен, много различных вариант.

Безинтервальный ряд может быть представлен двумя способами:

1) в виде таблицы, в первой строке которой перечисляются варианты в порядке возрастания, во второй строке – частоты или относительные частоты. Такая таблица называется статистическим дискретным рядом распределения выборки и является группированным видом представления выборки.