1. найти область определения функции;
2. найти точки пересечения графика с координатными осями;
3. исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность;
4. найти асимптоты функции;
5. найти интервалы монотонности, точки локальных экстремумов и значения функции в этих точках;
6. найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба;
7. используя полученные результаты исследования построить график функции.

2) Точки пересечения графика функции с осями координат.

С осью :

Пересечение с осью . Функция имеет три точки пересечения с осями: .

Функция нечетная, поэтому график функции будет симметричен относительно начала координат.

4) Найдем асимптоты графика функции. Функция не имеет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты , где

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания, убывания. Для этого вычислим первую производную

Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу:

Точка — точка максимума, точка — точка минимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

Найдем критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

Найденные точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

Точки перегиба: .

7) Используя полученные данные, строим график функции.

таким образом, область определения функции:

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

с осью ;

с осью .

Таким образом, функция проходит через начало координат — точку .

3) Функция не периодическая. Исследуем функции на четность:

Ни одно из равенств или не выполняется, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. График функции не будет иметь никакой симметрии.

В точке функция разрывная. Определим, как ведет себя точка в окрестности этой точки

Таким образом, — уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем наклонные асимптоты , где

Получаем уравнение наклонной асимптоты .

5) Найдем экстремум функции и интервалы возрастания и убывания. Для этого вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного:

Найдем критические точки: при

не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак производной в каждом из интервалов и результаты занесем в таблицу

То есть точка — точка максимума.

6) Найдем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Для этого находим вторую производную

Найдем критические точки: при не существует при , но эта точка не принадлежит области определения. Находим знак второй производной в каждом из интервалов и результат занесем в таблицу:

Значение функции в точке перегиба . Точка — точка перегиба.

7) Используя полученные данные, строим пунктиром асимптоты и жирным график функции.