Одним из видов выражений курса алгебры являются одночлены. В этой статье мы разберемся, какие выражения называют одночленами, скажем про их стандартный вид и приведем примеры. А после этого подробно остановимся на сопутствующих понятиях – степени и коэффициенте одночлена.

Первое запланированное знакомство с одночленами происходит в 7 классе средней школы. Там дается следующее определение одночлена:

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также всевозможные составленные из них произведения.

Озвученное определение позволяет привести примеры одночленов. Каждое из чисел 1 , 7 , 1 002 , 0 , −1 , −7 , 0,8 , 1/4 , - это одночлен. Любая переменная, к примеру, a , b , p , q , t , x , y , z – это тоже одночлены по определению. Одночленами являются и степени чисел и переменных, например, 2 3 , (−3,41) 7 , x 2 и t 115 . Но наиболее яркими представителями одночленов являются произведения чисел, переменных и их степеней: 5·x , 7·(−3)·x·y 3 ·6 , x·x·y 3 ·x·y 2 ·z и т.п. Из приведенных примеров видно, что в составе одночлена может быть как одно, так и несколько чисел, как одна, так и несколько переменных и их степеней, причем они могут повторяться.

До 7 класса в школе были изучены натуральные, целые и рациональные числа, они и фигурируют в приведенных выше примерах одночленов. Однако нужно заметить, что определение одночлена в указанной формулировке остается в силе после знакомства с действительными числами и комплексными числами. Так , 2·π·x 3 и - это тоже одночлены.

С одночленами удобно работать, когда они приведены к так называемому стандартному виду.

Стандартный вид одночлена - это такой вид одночлена, в котором он представлен как произведение числового множителя (который обычно записывают перед остальными множителями слева и называют коэффициентом одночлена) и натуральных степеней различных переменных.

Для пояснения приведем примеры нескольких одночленов стандартного вида: 5 (этот одночлен не содержит переменных), 2·a , −7·x 2 ·y 3 , , x·y (здесь коэффициент равен единице), −x 3 (здесь коэффициент равен −1 ). А вот одночлены 4·a·a 2 ·a 3 и 5·x·(−1)·3·y 2 записаны не в стандартном виде, так как первый из них содержит одинаковые переменные, а второй – несколько числовых множителей.

Отметим, что в одночленах стандартного вида принято буквенные множители записывать в алфавитном порядке. Например, одночлен b 4 ·6·a·z 2 ·c предпочтительнее записать как 6·a·b 4 ·c·z 2 . Давайте договоримся в дальнейшем везде записывать переменные в составе одночлена в алфавитном порядке. Записывать переменные не в алфавитном порядке мы будем только тогда, когда будем преследовать какую-то определенную цель.

Любой одночлен путем тождественных преобразований может быть представлен в стандартном виде. Иными словами, можно любой одночлен привести к стандартному виду.

Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.

Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.

Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a 1 . Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a , x и y равна 2+1+3+2=8 .

Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y . Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x 8 ·y 4 , его степень равна 8+4=12 . Таким образом, степень исходного одночлена равна 12 .

Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом. Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.

Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a 3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3 .

Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1 . Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a , x·z 3 , a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1 , так как a можно рассматривать как 1·a , x·z 3 – как 1·x·z 3 и т.п.

Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x , −x 3 ·y·z 3 и т.п. имеют коэффициент −1 , так как −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3 и т.п.

К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7 .