Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле – это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математических моделей, применяемых в математической физике и в естественных науках – электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z 2 + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивая построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфных расширений поля вещественных чисел, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z 2 + 1.

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару действительных чисел (x, y). Введем операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Действительные числа есть в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида, причем операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой, единица -, а мнимая единица -. На множестве комплексных чисел ноль и единица имеют те же свойства, что и на множестве действительных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен, то есть – 1.

Несложно показать, что определенные выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с числами. Исключением является только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядке, невозможно.

Комплексные числа можно также определить как семейство действительных матриц вида

Арифметические действия выполняются аналогично действий с многочленами, но с учетом равенства. Пусть и – комплексные числа. Тогда:

Пусть и – действительные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда

Угол такой, что: и, называется аргументом. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до 2 k , где k – любое целое число.

Переход к сопряженному числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим ее свойства.

Обобщение: где p (z) – произвольный комплексный многочлен.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Как уже было сказано выше, комплексное число можно отождествить с точкой плоскости. Кроме того, его можно отождествить с геометрическим вектором, начало которого находится в начале координат, а конец – в данной точке. С геометрической интерпретацией тесно связана так называемая тригонометрическая форма комплексного числа (на отличие от выше представленной формы, которую называют алгебраической): где и – действительные числа, причем положительное. В такой форме можно подать произвольное комплексное число, отличное от 0, причем оказывается, что (называется модулем числа) – это расстояние между точкой и началом координат, а угол (называется аргументом числа) – угол (выраженный в радианах) между правой полуосью оси абсцисс и вышеупомянутым вектором, причем угол отсчитывается против часовой стрелки (а в случае движения по часовой стрелке берется со знаком «минус»). Для перехода от одной формы записи комплексного числа в другую можно пользоваться следующими формулами:

С использованием операции подъема к комплексному степени и формулы Эйлера можно переписать тригонометрическую форму так:

Каждому комплексному числу (с действительными и) можно поставить в соответствие квадратную матрицу 2-го порядка вида. Такое соответствие задает изоморфизм между системой комплексных чисел и системой матриц такого вида, если сложению, вычитанию и умножению комплексных чисел поставить в соответствие обычные сложение, вычитание и умножение матриц. Легко видеть, что в этом представлены операции комплексного сопряжения соответствует транспонирования матрицы. Настоящая единица представляется как единичная матрица, а мнимая единица – как.

Нетрудно проследить, что действительно вышеуказанные арифметические действия дают соответствующие результаты при выполнении их над числами и над соответствующими матрицами (что и доказывает изоморфнисть этих структур):

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого нового типа чисел. Задача о выражении корня степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. Imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д'Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввел в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Аргана, повторяла независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел – кватернионы, алгебра которых некоммутативна.