Одним из самых сложных для школьников разделов алгебры является решение систем уравнений высших степеней.

указывающая стандартный путь решения. Для систем уравнений первой степени тоже есть стандартные приемы решения. Однако для систем уравнений высших степеней дело обстоит сложнее.

Наиболее общим способом решения таких систем является метод исключения неизвестных. Теоретически из любой системы двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными можно, исключая одно неизвестное, получить уравнение второго неизвестного. Однако не всегда процесс исключения является простым. Наибольшим же неудобством метода исключения является то, что он часто приводит к уравнению очень высокой степени. В высшей алгебре доказывается, что если одно уравнение системы имеет степень n, а второе - m, то после исключения, как правило, получается уравнение степени mn.

Точно так же из второго уравнения получаем: x?=9-y?, и потому

Приравнивая найденные значения для x, получаем уравнение, содержащее только одно неизвестное y:

Из-за этих недостатков метод исключения используют в школе довольно редко. Обычно стараются решить систему с помощью какого-нибудь искусственного приема. Но общих правил отыскания таких приемов нет. Каждая система решается своим методом, и опыт, полученный при решении одной системы, мало помогает при решении другой. В результате этот раздел школьной математики превращается в набор головоломок и отдельных кустарных методов их решения.

Моя цель - познакомить вас с одним довольно общим методом решения систем уравнений высших степеней. Он не столь универсален, как метод исключения, так как может быть применен не ко всякой системе. Однако этот метод применим к большинству систем, с которыми сталкивается школьник. Существенно, что, в отличие от метода исключения, он приводит не к повышению, а к понижению степени уравнений.

Метод, о котором идет речь, основан на использовании теории так называемых симметрических многочленов. Сама теория очень проста и она позволяет решать не только многие системы алгебраических уравнений, но и различные другие алгебраические задачи (решение иррациональных уравнений, доказательство тождеств и неравенств, разложение на множители и так далее). С помощью теории симметрических многочленов решение этих задач заметно упрощается и, что самое главное, проводится стандартным приемом.

В многочлене от трех переменных x, y, z перестановок можно сделать три: можно поменять местами x и y, или x и z, или, наконец, y и z. Назовем многочлен ?(x, y, z) от трех переменных x, y, z симметрическим, если при любой из этих трех перестановок он остается неизменным.

Условие симметричности многочлена ?(x, y, z) записывается следующим образом:

Например, из коммутативности сложения вытекает, что симметричным является многочлен x+y+z, а из коммутативности умножения следует симметричность многочлена xyz.

Вот еще примеры симметрических многочленов от трех переменных:

не является симметрическим. Правда, при перестановке переменных x и y он не меняется:

Но перестановка переменных x и z меняет вид этого многочлена - он переходит в многочлен

Наиболее простыми являются симметрические многочлены

Их называют элементарными симметрическими многочленами от трех переменных x, y, z и обозначают через , , :

Заметим, что - многочлен первой степени, - второй степени и - третьей.

Основная теорема о симметрических многочленах от трех переменных.

Возьмем любой многочлен от переменных , , и заменим в нем на x+y+z, - на xy+xz+yz и - на xyz. В результате мы получим многочлен, симметрично зависящий от x, y, z. Например, из многочлена

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем симметрический многочлен

Любой симметрический многочлен от x, y, z можно представить в виде многочлена от , , .

План доказательства таков. Сначала мы покажем, что любая степенная сумма s_k может быть выражено через элементарные симметрические многочлены , , . Затем мы рассмотрим более сложные симметрические многочлены, каждый из которых получается из некоторого одночлена всевозможными перестановками переменных и суммированием получившихся результатов. Такие симметрические многочлены будем называть орбитами соответствующих одночленов. Мы покажем, что каждая орбита выражается через степенные суммы, а значит, в конечном итоге, через , , наконец, будет установлено, что всякий симметрический многочлен представляется в виде суммы орбит.

Итак, прежде всего мы покажем, что каждую степенную сумму S_k=x k +y k +z k можно представить в виде многочлена от , , .

Эту формулу мы не будем «выводить», а прямо проверим. Подставляя в правую часть соотношения (1) вместо величин:

+xyz(x k-3 +y k-3 +z k-3 )=(x k +y k +z k +xy k-1 +x k-1 y+xz k-1 +x k-1 z+yz k-1 +y k-1 z)-

-(x k-1 y+xy k-1 +x k-1 z+xz k-1 +y k-1 z+yz k-1 +xyz k-2 +xy k-2 z+x k-2 yz)+(x k-2 yz+xy k-2 z+xyz k-2 )=x k +y k +z k =s_k.

Из этой формулы и вытекает справедливость нашего утверждения. Легко видеть, что степенные суммы s₀, s₁, s₂ выражаются через , , :

После этого формула (1) позволяет последовательно находить выражения следующих степенных сумм через , , : сначала s₃, затем s₄, s₅ и так далее Иными словами, имея выражение степенных сумм s₀, s₁, s₂ через , , , мы с помощью метода математической индукции (на основе формулы (1)) заключаем, что любая степенная сумма s_k выражается через , , . Таким образом, наше утверждение доказано.

Формула (3) не только доказывает возможность выразить степенные суммы через , , , но и позволяет фактически находить эти выражения.

Иными словами, проведенное выше доказательство конструктивно, то есть оно указывает вполне определенную последовательность действий, позволяющую за конечное число шагов добраться до выражения произвольной степенной суммы s_k через , , . В таблице 1 сведены выражения степенных сумм (до s₁₀) через , ,