С помощью определенного интеграла можно решить ряд геометрических задач.
С помощью определенного интеграла можно найти площадь плоской области, ограниченной снизу и сверху двумя кривыми у =f1(х), у = f2(х) и f1(x) ≤ f2(x) при а≤х≤b, где f1(x) и f2(х) - две непрерывные функции (рис. 1). Площадь такой области равна:
Формула (1) сохраняет свой вид и в случае, когда функции у =f1(х), у = f2(х) принимают отрицательные значения во всем интервале или в некоторой его части.
Другой важной геометрической задачей, при решении которой используется определенный интеграл, является нахождение объёма тела.
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функцией у = f(х) при a≤x≤b, прямыми х = a , х= b и осью Ох, вращается вокруг оси Ох. В этом случае объём тела вращения равен:
Пусть теперь криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функцией у = f(х) при a≤x≤b, прямыми х = a , х= b и осью Ох, вращается вокруг оси Оy (а≥0). Объём полученного тела вращения вычисляется по формуле:
Замечание. При вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной двумя горизонтальными прямыми у = c , у = d, осью Оу и графиком функции х = φ(у), получим тело вращения, объём которого определяется по формуле (2), если поменять ролями х и у (c<d) (рис. 2):
Другим важным применением определенного интеграла является вычисление длины дуги кривой, которая может быть задана в прямоугольных координатах с помощью функции у=f(x).
Пусть дуга кривой АВ задана уравнением у = f(х), a ≤ x ≤ b, А(a,f(a)), B(b,f(b)). Разобьём дугу на n произвольных частей точками M0 = А, М1, М2, . Мn = В с абсциссами а = х0, x1, x2. хn = b, соединим эти точки хордами и получим некоторую ломаную линию (рис. 3).
Определение. Длиной дуги АВ кривой называется предел последовательности длин ломаных при стремлении к нулю длины λ её наибольшего звена, если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения кривой, т.е.
Можно показать, что если функция f(х) непрерывна на отрезке [a, b] вместе со своей производной, то кривая АВ спрямляема. В этом случае вычислить длину дуги кривой у = f(х), х [a, b] можно по формуле:
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями.
2а. Вычислить объём тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, вокруг оси Ох.
2б. Вычислить объём тела, образованного вращением плоской фигуры, ограниченной заданными линиями, вокруг оси Оy.
Замечание. Студент получает задание типа 2а или 2б в зависимости от номера варианта.
Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную параболой у =3х 2 + 2х и прямой у = 3х+2.
Решение. Сделаем чертеж плоской области D, ограниченной графиками функций у = 3x 2 + 2х и у = 3х + 2.
Найдем точки пересечения параболы у = 3x 2 + 2х с осью Ох, тогда имеем:
у = 3x 2 + 2х=0; x(3x+2)=0, x = 0 и
3x 2 + 2х = 3x+2; А(-2/3; 0), В (1; 5).
Так как коэффициент при х положителен, то ветви параболы направлены вверх. А прямую у=3х + 2 построим через две точки А(-2/3; 0) и В (1; 5) (рис. 4).
Используя формулу (1), вычислим площадь S плоской области:
Пример 2а. Вычислить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной осью Ох, параболой y=2x 2 и прямой y= - x+3 вокруг оси Ох.
Решение. Для построения чертежа найдем сначала абсциссы точек пересечения прямой и параболы (рис. 5), решая систему уравнений:
Второе решение х2 = -3/2 не удовлетворяет условию задачи.
Поскольку верхняя граница фигуры составлена из двух различных линий, то объём искомого тела определим как сумму объёмов тел вращения, образованных вращением вокруг оси Ох криволинейных трапеций, ограниченных:
где нижнему пределу а первого интеграла соответствует х=0 (точка пересечения параболы y=2x 2 и оси Ох), а верхнему пределу с второго интеграла соответствует х=3 (точка пересечения прямой y= - x+3 и оси Ох). Следовательно,
Пример 2б. Вычислить объём тела, образованного вращением плоской области, ограниченной параболой у = х 2 - 6х + 9 и прямой у = 4х вокруг оси Оу.
Решение. Построим областью, ограниченную параболой у = х 2 - 6х + 9 и прямой у = 4х (рис. 6). Так как у = х 2 - 6х + 9 = (х - 3) 2 , то парабола касается оси Ох в точке С с абсциссой х = 3, ветви её направлены вверх. Найдем точки пересечения параболы с прямой:
Точки пересечения имеют координаты А(1,4), В(9,36). Эта плоская область D вращается вокруг оси Оу, получим тело вращения, изображенное на рис. 6.
Объём полученного тела вращения равен разности объёмов двух тел, полученных от вращения вокруг оси Оу двух криволинейных трапеций, заключенных между прямыми х = 1, х = 9 и осью Ох, одна из которых сверху ограничена прямой у=4х, а другая - параболой у = х 2 - 6х + 9. Тогда по формуле (3):
Пример 3. Вычислить длину дуги кривой , если -0.2 ≤ x ≤ 0.1.
Решение. Для вычисления, длины дуги кривой сначала найдем производную:
Тогда , и длина дуги равна, согласно формуле (5):
В отчёте должно быть представлены все выполненные расчёты, по задачам 1 и 2 - аккуратно выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получены с тремя значащими цифрами.
Более подробно с материалом этой темы можно ознакомиться в учебнике:
1. Карасев В.А., Карасева В.В., Лёвшина Г.Д. Математический анализ. Часть 2. Интегральное исчисление: Учеб. пособие. - М.: Илекса, 2011. - 283 с.
Контрольная по матрицам с решением