Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Разложим определитель n-го порядка по первой строке (согласно определению)

Продолжая раскладывать каждый из полученных определителей по первой строке, получаем формулу полного разложения определителя :

Каждое слагаемое — это произведение [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] [math]n[/math] элементов определителя, взятых из разных строк и разных столбцов: из первой строки взят один элемент [math]a_<1j_1>[/math] , стоящий в [math]j_1[/math] -м столбце; из второй строки — элемент [math]a_<2j_2>[/math] , стоящий в [math]j_2[/math] -м столбце, причем [math]j_1\ne j_2[/math] и т.д., из последней строки — элемент [math]a_[/math] , стоящий в [math]j_n[/math] -м столбце, причем [math]j_n\ne j_1,\,j_n\ne j_2,\,\ldots,\,j_n\ne j_[/math] Упорядоченный набор [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] неравных между собой первых [math]n[/math] натуральных чисел называется перестановкой (см. пример). Например, имеется 6 перестановок из первых трех натуральных чисел:

Перестановка [math](1,2,3,\ldots,n)[/math] называется тождественной . Суммирование в (2.5) проводится по всем перестановкам [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] из [math]n[/math] чисел. Всего в правой части (2.5) имеется [math]n![/math] слагаемых (по количеству различных перестановок). Определим знак, стоящий перед каждым произведением [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] . Заметим, что при разложении определителя первое слагаемое имеет вид

т.е. произведение [math]a_<11>\cdot a_<22>\cdot \ldots\cdot a_[/math] элементов на главной диагонали определителя входит в сумму со знаком плюс. Этому произведению соответствует тождественная перестановка [math](1,2,3,\ldots,n)[/math] номеров столбцов. Произведению [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] соответствует перестановка [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] номеров столбцов. Если столбцы определителя переставить так, чтобы эти элементы оказались на главной диагонали, то перед их произведением оказался бы знак плюс. Поскольку при перестановке двух столбцов определитель меняет знак на противоположный, то перед произведением [math]a_<1j_1>\cdot a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] нужно поставить коэффициент [math](-1)^<\sigma(j_1,j_2,\ldots,j_n)>[/math] , где [math]\sigma(j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] — соответствующее количество перестановок столбцов определителя. Это число равно количеству транспозиций — перемен местами двух чисел в перестановке — необходимых для приведения перестановки [math](j_1,j_2,\ldots,j_n)[/math] к тождественной. Напри мер, для определителя 3 -го порядка [math](n=3)[/math] найдем знак, с которым в правую часть (2.5) входит произведение [math]a_<13>a_<22>a_<31>[/math] . Этому произведению соответствует перестановка [math](j_1,j_2,j_3)=(3,2,1)[/math] . Поменяем местами 1-е и 3-е числа, получим тождественную перестановку [math](1,2,3)[/math] . Следовательно, [math]\sigma(3,2,1)=1[/math] , т.е. перед произведением [math]a_<13>a_<22>a_<31>[/math] стоит коэффициент [math](-1)^1=-1[/math] , что и указано в формуле (2.3).

Пример 2.6. Доказать, что определитель n-го порядка "с большим нулевым углом" равен нулю, т.е.

Решение. Рассмотрим произведение [math]a_<1j_1>a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] в правой части (2.5). Если хотя бы один множитель равен нулю, то и произведение будет равным нулю. Поэтому из первой строки надо брать элемент [math]a_<1j_1>[/math] , стоящий в столбце [math]j_1>k[/math] , из второй строки — элемент [math]a_<2j_2>[/math] , стоящий в столбце [math]j_2>k[/math] и [math]j_2\ne j_1[/math] , и т.д. из m-й строки — элемент [math]a_[/math] , стоящий в столбце [math]j_m>k,[/math] [math]j_m\ne j_1,j_m\ne j_2,\ldots,j_m\ne j_[/math] . Но выбрать [math]m[/math] разных столбцов из [math](n-k)[/math] столбцов невозможно при [math]n-k<m[/math] . Поэтому хотя бы один из множителей в [math]a_<1j_1>a_<2j_2>\cdot\ldots\cdot a_[/math] будет равным нулю. Таким образом, каждое слагаемое в правой части (2.5) для данного определителя равно нулю, т.е. сумма равна нулю.

Теорема Лапласа обобщает формулу разложения определителя по элементам строки (столбца).

Пусть [math]A[/math] — квадратная матрица n-го порядка. Выберем в матрице [math]A[/math] [math]k[/math] строк [math](1\leqslant k\leqslant n)[/math] с номерами [math]i_1,i_2,\ldots,i_k[/math] [math](1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n)[/math] и [math]k[/math] столбцов с номерами [math]j_1,j_2,\ldots,j_k[/math] [math](1\leqslant j_1<j_2<\ldots<j_k\leqslant n)[/math] .

Минором k-го порядка матрицы [math]A[/math] называется определитель [math]M_^[/math] матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных [math]k[/math] строк и [math]k[/math] столбцов матрицы [math]A[/math] . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов — нижними.

Алгебраическим дополнением [math]A_^[/math] минора [math]M_^[/math] называется умноженный на [math](-1)^[/math] определитель матрицы (n-k)-го порядка, полученной из матрицы [math]A[/math] вычеркиванием выбранных [math]k[/math] строк и [math]k[/math] столбцов.

Формула Лапласа разложения определителя. Определитель матрицы [math]A[/math] равен сумме произведений миноров k-го порядка, расположенных в выбранных к строках (столбцах), на их алгебраические дополнения:

Пример 2.7. Вычислить по формуле Лапласа определитель

Решение. Выберем в матрице [math]A[/math] первые две строки [math](i_1=1,\,i_2=2)[/math] . В этих строках расположены 6 миноров, которые получаются при произвольном выборе двух столбцов:

Вычислим определитель, используя формулу разложения по двум строкам:

Используем теперь формулу разложения по столбцам. Выберем, например, 1-й и 4-й столбцы [math](j_1=1,\,j_2=4)[/math] . Находим миноры, расположенные в этих столбцах, и их алгебраические дополнения

Вычисляем определитель, используя формулу разложения по двум столбцам:

1. Дополнительный минор элемента [math]a_[/math] (см. разд.2.2) является минором (n-1)-го порядка, т.е.

2. Если [math]A[/math] и [math]C[/math] квадратные матрицы, [math]B,\,O[/math] матрицы соответствующих размеров, причем [math]O[/math] — нулевая, то определитель блочно-треугольной матрицы находится по формуле

Действительно, применяя формулу Лапласа к столбцам, в которых расположена матрица [math]A[/math] , получим одно слагаемое [math]|A|\cdot|C|[/math] . Остальные миноры в этих столбцах равны нулю, так как содержат нулевую строку.