Рассмотрим геометрический метод, который вытекает из геометрического истолкования дифференциального уравнения первого порядка и его решений. Метод изоклин нам интересен тем, что он позволяет приближенно отыскать решение задачи Коши в виде графика. Однако для серьезной работы он непригоден; он дает лишь наглядное представление.

Итак, установим связь между уравнением и его интегральными кривыми. Предположим, что правая часть уравнения (3. 1. 1) определена и непрерывна в области G и пусть есть интегральная кривая этого уравнения, проходящая через точку М(х, у). Проведем касательную к интегральной кривой (3. 1. 2) в точке М и обозначим через угол образованный касательной МТ с положительным направлением оси ОХ. Тогда

Т. о., если через точку М(х, у) проходит интегральная кривая (3. 1. 2), то наклон касательной к ней в этой точке определяется формулой

так что наклон касательной к интегральной кривой определен заранее самим дифференциальным уравнением.

Наклон касательной (как и всякой прямой) есть тангенс угла , образованного касательной с положительным направлением оси ОХ.

Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых. Для этого построим в каждой точке М области G отрезок (для определенности - единичной длины) с центром в точке М(рис.), составляющий с положительным направлением оси ОХ угол , тангенс которого определяется формулой (3. 1. 3). Получим так называемое поле направлений, определяемое уравнением (3. 1. 1) в этой точке.

Чтобы найти угол, под которым интегральные кривые могут пересекать ось ОХ, достаточно подставить в правую часть уравнения (3. 1. 1) у = 0, и получим тангенс угла . Аналогично интегральные кривые уравнения (3. 1. 1) в точках их пересечения с осью ОУ образуют с осью ОХ угол :

Вообще, если надо узнать, какой угол с осью ОХ образуют интегральные кривые уравнения (3. 1. 1) в точках их пересечения с заданной кривой у = (х), то достаточно подставить у = (х) в правую часть уравнения (3. 1. 1). Получим

Кривая = (х, у), в каждой точке которой направление поля, определяемое дифференциальным уравнением (3. 1. 1), одно и тоже, называется изоклиной этого уравнения.

Уравнения изоклин дифференциального уравнения (3. 1. 1) имеют вид

С увеличением наклон интегральных кривых возрастает.

Если в точке М(х, у) правая часть уравнения (3. 1. 1) обращается в , то естественно считать, что направление поля в такой точке параллельно оси ОУ. В этом случае надо рассматривать перевернутое уравнение

Т. о., во всякой точке М(х, у), в которой правая часть уравнения (3. 1. 1) имеет конечное значение или обращается в , это уравнение задает вполне определенное направление поля. Интегральные кривые перевернутого уравнения (3. 1. 4), которое надо рассматривать наряду с уравнением (3. 1. 1) в окрестности точек, где f (х, у) обращается в , будем присоединять к интегральным кривым уравнения (3. 1. 1).

Когда правая часть уравнения (3. 1. 1) не определена в точке (хо, уо), но определена в окрестности этой точки, говорят, что поле направлений в точке (хо, уо) не задано. Такие точки называются особыми точками дифференциального уравнения. Если при этом существует интегральная кривая у = у(х) (х =х(у)), обладающая свойством у(х)уо при ххо (х(у) хо при ууо), то будем говорить, что эта интегральная кривая примыкает к точке (хо, уо).

Построив достаточно густое семейство изоклин, можно получить сколь угодно точное представление об интегральных кривых, в связи с этим рассмотрим следующий пример.

Пример. Дано дифференциальное уравнение. Определить поле направлений и построить изоклины.

Решение. Правая часть уравнения определена на всей плоскости, кроме начала координат, где она обращается в неопределенность вида . Т. о., поле направлений задано всюду, кроме начала координат; причем в точках, не лежащих на оси ОУ (х0), имеем. Отсюда ясно, что соответствующими интегральными кривыми будут полупрямые примыкающие к началу координат. В точках полуосей оси ОУ направление поля параллельно оси ОУ. Из рассмотрения перевернутого уравнения ясно, что эти полуоси являются интегральными кривыми.

Итак, интегральными кривыми исходного уравнения являются все полупрямые примыкающие к началу координат. Они являются изоклинами исходного уравнения.

Если в какой - либо задаче требуется выделить из общего решения одно частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (3. 0. 2), то геометрически это сводится к тому, что требуется из семейства интегральных кривых на плоскости выделить одну интегральную кривую, проходящую через заданную точку плоскости М (хо, уо). Теорема Коши указывает, в каких случаях можно ручаться за то, что через данную точку плоскости проходит только одна интегральная кривая.

Действительно, теорему Коши можно прочитать следующим образом: Если даны дифференциальное уравнение (3. 0. 1) и начальные условия (3. 0. 2) и его правая часть непрерывна в окрестности точки (хо, уо), то через точку плоскости М(хо, уо) проходит одна и только одна кривая уравнения (3. 0. 1).

Теперь перейдем непосредственно к рассмотрению метода изоклин для задачи Коши.

Еще раз отметим, что метод изоклин для решения задачи Коши позволяет построить приближенно график интегральной кривой, проходящей через точку (хо, уо).

1. Строим густое поле направлений, т. е., другими словами, сеть изоклин, соответствующих различным значениям угловых коэффициентов (=tg) касательных поля направлений.

2. Выбираем изоклину о, на которой лежит точка (хо, уо) с угловым коэффициентом . В этой точке строим малый участок кривой, которая касается направления поля в точке (хо, уо) до пересечения с близлежащей изоклиной 1.

3. Через точку пересечения вновь проводим участок кривой, так, чтобы направление изоклины 1 было касательной для этого участка кривой, и т. д. В результате мы получим кривую - график искомой интегральной кривой.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение метода изоклин для решения задачи Коши.