Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел.Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой. Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: z₁ + z₂ = z₂ + z₁ – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Каждому комплексному числу z = a + i*b можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d) можно сопоставить комплексное число w = c + i*d . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О , а именно, комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором точки с координатами (a;b) . В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.

Пусть комплексное число z = a + i*b изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается |z| .

Угол, образованный радиус-вектором числа с осью, называетсяаргументом числа и обозначаетсяarg z . Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 доили в диапазоне от -до. Кроме того у числааргумент не определен.

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

или

причем первая формула действует, если изображение числа находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если , то комплексное число изображается вектором на оси Oy и его аргумент равен /2или 3*/2.

Получим еще одну полезную формулу. Пусть z = a + i*b . Тогда ,

или .