2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел.Пусть a=a+bi ¾ произвольное комплексное число. Тогда в декартовой системе координат существует единственная точка с координатами (a; b) и, обратно, произвольной точке (a; b) в декартовой системе координат соответствует единственное комплексное число a такое, что Rea=a и Ima=b. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие y такое, что y(a+bi)=(a; b). Поэтому комплексные числа можно изображать точками плоскости. Эту плоскость называют комплексной.

Пусть M(a; b) ¾ точка комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу a+bi. Тогда можно рассматривать вектор с координатами (a; b) (рис. 1) Вектор называется векторным представлением числаa+bi. Длина | | вектора называется модулем комплексного числа a=a+bi, а угол j между вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа a¹0. Для нуля модуль не определён. Модуль числа a обозначается через |a|, а его аргумент ¾ через Аrga. Очевидно, Аrga определён с точностью до кратных угла 2p, то есть, если j ¾ угол наклона к оси Ox, то Аrga=j+2pk, kÎZ. Если j=АrgaÎ(p, p], то j называется главным значением аргумента и обозначается через arga. Таким образом, Аrga=arga +2pk, kÎZ, argaÎ(-p, p].

2.1.2. Упражнение. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

н) argz= ; о) argz= ; п) |Rez|³1; р) |Imz|=2;

Решение. б) Пусть z=x+yi, где x=Rez и y=Imz. Тогда z-(2+3i)=(x-2)+(y-3)i и |z-(2+3i)|= . Поэтому |z-(2+3i)|=1 Û =1 Û =1. Получили уравнение окружности с центром (2; 3) и радиусом R=1. Следовательно, множество точек, соответствующее комплексным числам z, удовлетворяющим заданному условию ¾ окружность с центром (2; 3) радиуса R=1 (рис. 2).

в) Аналогично предыдущему, если z=x+yi, то |z-i|= и |z-i|£2 Û £2 Û £4 ¾ круг с центром (0; 1) радиуса 2 (рис. 3).

2.2. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел.Пусть a=a+bi и b=c+di ¾ произвольные комплексные числа. Тогда их сумма a+b=(a+c)+(b+d)i изображается вектором с координатами (a+c, b+d), то есть при сложении комплексных чисел они складываются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел (рис. 4).

Отсюда вытекают следующие свойства модулей комплексных чисел:

Правая часть полученного равенства (2.3.1) называется тригонометрической формой комплексного числаa+bi.

Таким образом, для нахождения тригонометрической формы комплексного числа a+bi достаточно найти модуль r по формуле

r= (2.3.2)

(2.3.3)

2.3.1. Упражнение.Представить в тригонометрической форме комплексное число:

ж) 3+3i; з) 1+ i; и) -i; к) -1- i.

Решение. б) Комплексное число -4 представляется вектором с координатами (-4; 0). Поэтому |-4|=4 и arg(-4)=p. Следовательно, -4=4(cosp+isinp) ¾ тригонометрическая форма числа -4.

з) Имеем a=1 и b= . Поэтому |1+ i|= =2. Далее, cosj= и sinj= , откуда j=arg(1+ i)= и 1+ i=2(cos +isin ).

з) 1+ i=2(cos +isin ).

= [cos(j₁-j₂)+isin(j₁-j₂)]. (2.3.5)

Допуская вольность речи, эту теорему формулируют следующим образом: при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении ¾ модули делятся, аргументы вычитаются.

а) (1+i) 20 ; б) (1-i) 100 ; в) (1+ i) 300 ; г) ; д) ; е) + .

Решение. а) Представим 1+i в тригонометрической форме: 1+i= (cos +isin ). Теперь, по формуле Муавра (2.3.6) получаем

(1+i) 20 =( (cos +isin )) 20 =( ) 20 (cos 20× +isin 20× )=

г) Представим в тригонометрической форме. Имеем 1+ i=2(cos +isin ) (см. предыдущее упражнение) и 1-i= (cos +isin ). Поэтому

=

(cos +isin )= (cos +isin ).

=( ) 15 (cos 15× +i sin 15× )= (cos +i sin )=

= (cos +i sin )= (cos +i sin )=

= (- + i)= × (-1+i)=2 7 (-1+i).