Настоящее пособие представляет курс лекций по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, читаемых кафедрой высшей математики для студентов всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева. В пособие включены разделы: теория интегрирования дифференциальных уравнений первого, второго и n-ого порядков и систем линейных дифференциальных уравнений, методы интегрирования начальных и краевых задач. Предназначено для студентов всех специальностей.

1.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные понятия 3

1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка 5

1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными 6

1.4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка 7

1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным 10

1.7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка 13

1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 17

2.2. Линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка 25

2.5. ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами 30

2.6. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) 2-го порядка 32

2.7. Решение ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью 34

2.8. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 38

3.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 43

4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений 46

4.3. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений (ЛОС ДУ) 48

4.5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ) 55

Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка для функции y аргумента x называется соотношение вида

, (1.1)

где F – заданная функция своих аргументов. В названии этого класса математических уравнений термин «дифференциальные» подчеркивает, что в них входят производные (функции, образованные как результат дифференцирования); термин «обыкновенные» говорит о том, что искомая функция зависит только от одного действительного аргумента.

Обыкновенное дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде аргумент x, искомую функцию и любые её производные, но старшая производная обязана входить в уравнение n-го порядка. Например,

а) – уравнение первого порядка;

б) – уравнение третьего порядка.

При написании обыкновенных дифференциальных уравнений часто используются обозначения производных через дифференциалы:

в) – уравнение второго порядка;

г) – уравнение первого порядка, образующее после деления наdx эквивалентную форму задания уравнения: .

Определение. Функция называетсярешением обыкновенного дифференциального уравнения, если при подстановке в него оно обращается в тождество. Например, уравнение 3-го порядка

имеет решение .

Найти тем или иным приёмом, например, подбором, одну функцию, удовлетворяющую уравнению, не означает решить его. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение – значит найти все функции, образующие при подстановке в уравнение тождество. Для уравнения (1.1) семейство таких функций образуется с помощью произвольных постоянных и называется общим решением обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка, причём число констант совпадаёт с порядком уравнения: Общее решение может быть явно не разрешено относительноy(x): В этом случае решение принято называтьобщим интегралом уравнения (1.1). Например, общим решением дифференциального уравнения является следующее выражение:

причём второе слагаемое может быть записано и как , так как произвольная постоянная, может быть заменена новой произвольной постоянной.

Придавая некоторые допустимые значения всем произвольным постоянным в общем решении или в общем интеграле, получаем определенную функцию, уже не содержащую произвольных констант. Эта функция называется частным решением или частным интегралом уравнения (1.1). Для отыскания значений произвольных констант, а, следовательно, и частного решения, используются различные дополнительные условия к уравнению (1.1). Например, могут быть заданы так называемые начальные условия при :

(1.2)

В правых частях начальных условий (1.2) заданы числовые значения функции и производных, причём общее число начальных условий равно числу определяемых произвольных констант.

Задача отыскания частного решения уравнения (1.1) по начальным условиям называется задачей Коши.