Аналитические функции комплексной переменной. Интегральная формула Коши. Особые точки, вычеты. Конформные отображения

Функция комплексного переменного регулярна в некой области, если она внутри нее однозначна и имеет непрерывную производную.

Аналитическая функция – функция, которая может быть представлена степенным рядом (аналитична в точке, если существует некая окрестность точки, где она представляется в виде степенного ряда).

Теорема Коши 1 – Если функция регулярна в замкнутой односвязной области, то интеграл от нее по контуру этой области равен нулю.

Теорема Коши 2 – Если функция регулярна в замкнутой многосвязной области, то интеграл от нее по всему контуру этой области в положительном направлении равен нулю.

Теорема Коши 3 – Если функция регулярна в замкнутой многосвязной области, то интеграл от нее по внешнему контуру равен сумме интегралов по всем внутренним контурам при условии, что интегрирование по всем контурам производится против часовой стрелки.

Пусть f(z) – некоторая функция, регулярная в замкнутой области B, которую мы пока для простоты будем считать односвязной. Пусть l – контур этой области и а – некоторая точка внутри этой области.

Эта новая функция также регулярна везде в B, кроме, может быть, точки z = a, так как в этой точке знаменатель дроби (29) обращается в нуль. Исключим эту точку кружком с центром а и малым радиусом , и пусть С_ – окружность этого круга. В кольце, ограниченном контурами l и С_, наша функция (29) будет регулярной без всякого исключения, и, следовательно, согласно теореме Коши, мы можем написать

В интеграле, стоящем справа, положим f(z) = f(a) + f(z) - f(а). Тогда

Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: интеграл, стоящий в левой части формулы (30), и первое слагаемое правой части не зависят от выбора радиуса е, поэтому можно утверждать, что и второе слагаемое, стоящее справа, на самом деле не зависит от е. Но мы сейчас докажем, что оно стремится к нулю, когда   0. Отсюда будет непосредственно следовать, что оно в точности равно нулю.

Применяя оценку из [какой-то книжки] и принимая во внимание, что при движении z по окружности С_ с центром а, очевидно, | z — a| = , получим

При беспредельном уменьшении  точки окружности z стремятся к а, и максимум модуля разности max |f(z) - f(a)| будет стремиться к нулю, т. е. действительно второе слагаемое правой части формулы (30) стремится к нулю вместе с , и по высказанным выше соображениям оно равно нулю. Таким образом, формула (30) переписывается в виде

Переменим несколько наше обозначение, а именно будем обозначать через z' переменную интегрирования и через z — любую точку внутри, нашей области. При этом предыдущая формула примет вид

Эта формула Коши выражает значение регулярной функции в любой точке z внутри области через ее значения на контуре области. Интеграл, входящий в формулу Коши, содержит z под знаком интеграла в качестве параметра и притом в чрезвычайно простой форме.

Точка z находится внутри области, а переменная точка интегрирования z' пробегает контур области. Таким образом, z' - z ≠ 0, и интеграл, стоящий в формуле Коши, представляет собою интеграл от непрерывной функции, и его можно дифференцировать по z под знаком интеграла сколько угодно раз. Мы получаем, последовательно дифференцируя при любом целом положительном n,

Откуда можно понять, что регулярная функция имеет производные всех порядков.

Вычетом называется коэффициент при (z-b) -1 в разложении Лорана в окрестности особой точки b, то есть:

если f регулярна внутри кольца, то представляется единственным образом.

если в разложении Лорана отсутствует «минус бесконечный» хвост, то такая точка z = b – полюс порядка m, где m – наименьший индекс в разложении.

если же есть бесконечное число членов с отрицательными степенями, то такая точка – существенно особая.

Пусть f(z) регулярна в некоторой области B с контуром l, за исключением точек b₁, …, b_n, лежащих внутри области и являющихся полюсами или существенно особыми точками. По теореме Коши:

и, следовательно, предыдущее равенство дает нам величину интеграла по контуру области через вычеты функции в особых точках, лежащих внутри функции.

Конформное отображение – непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур.

Непрерывное отображение w=f(z) области D комплексной плоскости С в С наз. конформным в точке z₀D, если оно в этой точке обладает свойством постоянства растяжений и сохранения углов. Свойство постоянства растяжения в точке z₀ при отображении w=f(z) состоит в том, что отношение

расстояния между f(z) и f(z0) к расстоянию между z и z₀ стремится к некоторому конечному пределу. Когда стремление произвольное, число k называется коэффициентом растяжения в точке. Свойство сохранения углов состоит в том, что угол между любой парой непрерывных кривых в точке при отображении переходит в другую пару кривых, но угол в соответствующей точке остается прежним. Если угол сохранил направление - отображение первого рода, иначе – второго.

Растяжения, повороты, параллельные переносы осуществляются целыми линейными функциями вида w=az+b.Полуплоскость в круг можно превратить с помощью дробно-линейной функции. (типа, w₁/w₂, что такое w – см. выше).