С понятиями возрастающей и убывающей функций мы впервые познакомились в курсе алгебры 7-го класса. Глядя на график функции, мы снимали соответствующую информацию: если двигаясь по графику слева направо мы в то же время движемся снизу вверх (как бы поднимаемся в горку), то мы объявляли функцию возрастающей (рис. 124); если же мы движемся сверху вниз (спускаемся с горки), то мы объявляли функцию убывающей (рис. 125).

Определение 1.Функцию у = f(x) называют возрастающей на промежутке X, если из неравенства х₁ < х₂- где хг и х2 — любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x₁) < f(x₂).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют убывающей на промежутке X, если из неравенства х₁ < х₂, где х₁ и х₂ — любые две точки прс лежутка X, следует неравенство f(x₁) > f(x₂).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Используя эти определения и установленные в § 33 свойства числовых неравенств, мы сможем обосновать выводы о возрастании или убывании ранее изученных функций.

Если k > О, то функция возрастает на всей числовой прямой (рис. 126); если k < 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Доказательство. Положим f(х) = kx +m. Если х₁ < х₂ и k > О, то, согласно свойству 3 числовых неравенств (см. § 33), kx₁ < kx₂. Далее, согласно свойству 2, из kx₁ < kx₂

Если же х₁ < х₂ и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx₁ > kx₂, а согласно свойству 2, из kx₁ > kx₂следует, что kx₁ + m> kx₂ + т.

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(х₁) > f(х₂). Это и означает убывание функции у = f(x), т. е. линейной функции у = kx + m.

Если функция возрастает (убывает) во всей своей области определения, то ее можно называть возрастающей (убывающей), не указывая промежутка. Например, про функцию у = 2х - 3 можно сказать, что она возрастает на всей числовой прямой, но можно сказать и короче: у = 2х - 3 — возрастающая

1. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче [0, + ₀₀). Пусть 0 х₁ < х₂. Тогда, согласно свойству 6 числовых неравенств, , т. е.f(x₁) < f(x₂)- Итак, из х₁ < х₂ следует f(x₁) < f(x₂). Таким образом, функция у = х 2 возрастает на луче [0, + ₀₀) (рис. 128).

2. Рассмотрим функцию у = х 2 на луче (- со, 0]. Возьмем два неположительных числа х₁ и х₂, таких, что х₁ < х₂. Тогда, согласно свойству 3 числовых

неравенств, выполняется неравенство - х₁ > - х₂. Так как числа - х₁ и - х₂ неотрицательны, то, возведя в квадрат обе части последнего неравенства, получим неравенство того же смысла (-х₁) 2 > (-х₂) 2 , т.е. Это значит, что f(х₁) >f(х₂).

Поэтому функция у = х 2 убывает на луче (- ₀₀, 0] (рис. 128).

Пусть х1 < х₂. Так как х₁ и х₂ — положительные числа, то из х₁< x₂ следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x₁) > f(x₂).

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(x₁) > f(x₂). Это значит, что функция убывает на открытом луче (0, + ₀₀) (рис. 129).

2. Рассмотрим функцию на промежутке (-оо, 0). Пусть х₁ < х₂, х₁ и х₂ — отрицательные числа. Тогда - х₁ > - х₂, причем обе части последнего неравен-

ства — положительные числа, а потому (мы снова воспользовались неравенством, доказанным в примере 1 из § 33). Далее имеем , откуда получаем .

Итак, из неравенства х₁ < х₂ следует, что f(x₁) >f(x₂) т.е. функция убывает на открытом луче (-₀₀, 0)

Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

1) Построим график функции у = 2х 2 и возьмем ветвь этой параболы при х < 0 (рис. 130).

2) Построим график функции и выделим его часть на отрезке [0, 4] (рис. 131).

3) Построим гиперболу и выделим ее часть на открытом луче (4, + ₀₀) (рис. 132).

4) Все три «кусочка» изобразим в одной системе координат — это и есть график функции у = f(x) (рис. 133).

1. Область определения функции — вся числовая прямая.

3. Функция убывает на луче (-оо, 0], возрастает на отрезке [0, 4], убывает на луче [4, + оо).

4. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

5. у_наим. = 0 (достигается при х = 0); Y_наиб- не существует.

8. Функция выпукла вниз на луче (-оо, 0], выпукла вверх на отрезке [0, 4], выпукла вниз на луче [4, + оо).