Описание: Конспект лекций по высшей математике 3 Лекция 5 ТЕМА: Комплексные числа План. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами. Извлечение корня из комплексного числа.

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

1. Определение комплексного числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
2. Извлечение корня из комплексного числа. Показательная форма комплексного числа.

При изучении одного из основных приемов интегрирования: интегрирования рациональных дробей – требуется для проведения строгих доказательств рассматривать многочлены в комплексной области. Поэтому изучим предварительно некоторые свойства комплексных чисел и операций над ними.

Определение. Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (а, b ) : z = ( a , b ) (термин «упорядоченная» означает, что в записи комплексного числа важен порядок чисел а и b : ( a , b )≠( b , a ) ). При этом первое число а называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Re z , а второе число b называется мнимой частью z : b = Im z .

Определение. Два комплексных числа z 1 = ( a 1 , b 1 ) и z 2 = ( a 2 , b 2 ) равны тогда и только тогда, когда у них равны действительные и мнимые части, то есть a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

1. Суммой комплексных чисел z 1 = ( a 1 , b 1 ) и z 2 = ( a 2 , b 2 ) называется комплексное число z = ( a , b ) такое, что a = a 1 + a 2 , b = b 1 + b 2 .

в) существует комплексное число 0 = (0,0): z + 0 = z для любого комплексного числа z .

2. Произведением комплексных чисел z 1 = ( a 1 , b 1 ) и z 2 = ( a 2 , b 2 ) называется комплексное число z = ( a , b ) такое, что a = a 1 a 2 – b 1 b 2 , b = a 1 b 2 + a 2 b 1 .

Замечание . Подмножеством множества комплексных чисел является множество действительных чисел, определяемых как комплексные числа вида ( а, 0). Можно убедиться, что при этом определение операций над комплексными числами сохраняет известные правила соответствующих операций над действительными числами. Кроме того, действительное число 1 = (1,0) сохраняет свое свойство при умножении на любое комплексное число: 1∙ z = z .

Определение. Комплексное число (0, b ) называется чисто мнимым . В частности, число (0,1) называют мнимой единицей и обозначают символом i .

2) чисто мнимое число (0, b ) можно представить как произведение действительного числа ( b , 0) и i : ( b , 0) = b ∙ i .

Следовательно, любое комплексное число z = ( a , b ) можно представить в виде:

Определение . Запись вида z = a + ib называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Замечание. Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Определение. Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = a + ib .

3. Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению: z = ( a , b ) называется разностью комплексных чисел z 1 = ( a 1 , b 1 ) и z 2 = ( a 2 , b 2 ), если a = a 1 – a 2 , b = b 1 – b 2 .

4. Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению: число z = a + ib называется частным от деления z 1 = a 1 + ib 1 и z 2 = a 2 + ib 2 ( z 2 ≠ 0), если z 1 = z ∙ z 2 . Следовательно, действительную и мнимую части частного можно найти из решения системы уравнений: a 2 a – b 2 b = a 1 , b 2 a + a 2 b = b 1 .

Комплексное число z = ( a , b ) можно представить в виде точки на плоскости с координатами ( a , b ) или вектора с началом в начале координат и концом в точке ( a , b ).

При этом модуль полученного вектора называется модулем комплексного числа, а угол, образованный вектором с положительным направлением оси абсцисс,- аргументом числа. Учитывая, что a = ρ cos φ, b = ρ sin φ, где ρ = | z | - модуль z , а φ = arg z – его аргумент, можно получить еще одну форму записи комплексного числа:

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

В свою очередь, модуль и аргумент комплексного числа можно выразить через а и b : .

Следовательно, аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π.

Легко убедиться, что операция сложения комплексных чисел соответствует операции сложения векторов.

Следовательно, модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент – сумме их аргументов.

Соответственно, при делении модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент – разности их аргументов.

Частным случаем операции умножения является возведение в степень:

Используя полученные соотношения, перечислим основные свойства комплексно- сопряженных чисел:

Определение . Комплексное число называется корнем n -й степени из z , если

Из определения следует, что . Так как аргумент комплексного числа определен не однозначно, можно получить n различных значений для аргумента z 1 : , где φ 0 – одно из значений arg z , а k = 1, 2,…, n -1. Окончательно формулу, задающую все значения , можно записать в виде:

Пример . Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16( cos 0 + i sin 0). Найдем все значения :

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера :

справедливость которой будет доказана в дальнейшем. Используя эту формулу, можно получить из (1) еще один вид комплексного числа:

Определение. Запись вида (5) называется показательной формой записи комплексного числа.

Представление (5) позволяет легко интерпретировать с геометрической точки зрения операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, используя известные свойства показательной функции.