1. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа, нуля и отношения "меньше".
2. Теоретико-множественный смысл суммы и разности натуральных чисел.
3. Теоретико-множественный смысл произведения и частного натуральных чисел.
1. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа, нуля и отношения "меньше"
Введя понятие отрезка натурального ряда на прошлой лекции, мы выяснили, что счет элементов конечного множества приводит к числу количественному. Используя теоретико-множественные понятия, можно разъяснить смысл количественного натурального числа, не связывая его со счетом. Сделаем это в рамках так называемого теоретико-множественного подхода к числу.
Как было установлено ранее, количественное натуральное число а получается в результате счета элементов конечного множества А: а = n(А). Это же число а может быть получено и при пересчете элементов другого множества, например, В. Но если а = n(В), то множества А и В равномощны, поскольку содержат поровну элементов.
Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Так как каждый класс равномощных конечных множеств однозначно определяется выбором какого-нибудь его представителя, то о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника, а о натуральном числе «четыре», что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству вершин квадрата.
Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n(Ø).
Итак, натуральное числоа как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:
1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете, т.е. а = n(А), причем А
2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».
В аксиоматической теории это отношение определено следующим образом: а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Если а < b, то это означает, что отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nb, т.е. Nа Nb и Nа ≠ Nb. Справедливо и обратное утверждение: если Nа - собственное подмножество Nb, , то а < b.
Тем самым отношение «меньше» получает теоретико-множественное истолкование: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Nа является собственным подмножеством отрезка Nb: а< b Nа Nb и Nа ≠ Nb.
Так, справедливость неравенства 3 < 7 вытекает из того, что <1,2,3> <1,2,3,4, 5, 6,7>.
Если воспользоваться терминологией, принятой в школьном курсе математики, то последнее определение отношения «меньше» можно сформулировать так: «Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b».
Данная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду. Однако сравнение чисел (особенно небольших) часто выполняют иначе, используя связь чисел с конечными множествами.
Например, если 3 - это число квадратов на рисунке 1, а 7 - число кружков на этом рисунке, то 3 < 7, потому что во втором множестве можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству квадратов. Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из трактовки отношения «меньше», данной выше: множество квадратов равномощно отрезку N3, а множество кружков - отрезку N7 и N3 N7.
В общем виде рассмотренный подход к определению отношения «меньше» можно обосновать следующим образом:
Nb и Nа Nb.
Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».
Теоретико-множественный смысл неравенства 0 < а, истинного для любого натурального числа а, связан с тем, что пустое множество является подмножеством любого отрезка Nа (или любого такого множества А, для которого а = n(А)).
Заметим, что приведенные трактовки отношения «меньше» основываются на понятии подмножества конечного множества. Так как в реальной жизни мы, как правило, имеем дело с конечными множествами, то наш опыт говорит о том, что и любое подмножество конечного множества - конечно. Однако с математической точки зрения этот факт нуждается в доказательстве.
Разложить в ряд лорана функцию