Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

Учебное пособие Издание четвёртое, исправленное и дополненное

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром высшего профессионального образования

для межвузовского использования в качестве учебного пособия

кафедра высшей математики Томского гос. ун-та, зав. каф. д-р физ.- мат. наук, проф. С.В.Панько; канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томского политехнического ун-та Е.Т.Ивлев.

M12 Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии: Учебное пособие. Томск: Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, 2007. 162 с.

В пособии приведено более трёхсот задач по линейной алгебре и аналитической геометрии, треть из них сопровождается подробным решением. В каждом подразделе приведены задачи для самостоятельной работы в количестве, достаточном для аудиторной и домашней работы.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки инженерно-технических специальностей технических университетов.

Магазинников Леонид Иосифович, Магазинникова Анна Леонидовна

Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии

В Томском университете систем управления и радиоэлектроники подготовлено к изданию и частично уже издано полное методическое обеспечение курса высшей математики, состоящее из пяти пособий, содержащих теоретический материал в изложении, близком к лекционному. Каждая теоретическая часть дополнена практикумом решения задач по соответствующему разделу. Данное пособие содержит задачи по линейной алгебре и аналитической геометрии и предназначено для проведения практических занятий по этим разделам в реальных условиях острого дефицита времени.

Темы, рассмотренные в пособии, определены рабочей программой курса высшей математики по разделу "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", которую мы приводим ниже.

Матрицы и действия над ними. Понятие матрицы. Некоторые виды матриц. Равенство матриц, сложение, умножение на число и произведение матриц. Определители порядка n и их свойства. Определители 2-го и 3-го порядка. Понятие определителя порядка n . Алгебраические дополнения и миноры. Обратная матрица. Решение матричных уравнений.

Линейные пространства. Понятие n -мерного арифметического пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Базис и координаты. Понятие произвольного линейного пространства. Подпространства. Евклидовы линейные пространства. Аффинные и евклидовы то- чечно-векторные пространства. Формулы перехода от одного базиса к другому. Преобразования систем координат.

Системы линейных уравнений и их исследование. Формы записи систем, виды систем. Теорема о совместности произвольной системы линейных уравнений. Решение систем в слу-

чае n = m , D = 6 0. Решение систем в случае n = 6 m . Системы линейных однородных уравнений.

Алгебра геометрических векторов. Линейные операции над векторами. Базис и координаты. Деление отрезка в данном отношении, проекция вектора на ось. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их приложения.

Линейные операторы, линейные и квадратичные формы. Матрица линейного оператора. Линейные формы. Понятие квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к главным осям.

2. Приложение линейной алгебры к задачам аналитической геометрии

Прямая линия на плоскости. Общее уравнение, уравнение с угловым коэффициентом, канонические и параметрические уравнения.

Уравнение плоскости. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых.

Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Некоторые виды поверхностей: цилиндрические и конические поверхности, поверхности вращения, поверхности второго порядка. Полярная система координат.

Структура пособия такова. Весь материал разбит на два раздела и 17 подразделов. Каждый подраздел содержит указания, какой теоретический материал по пособию [5] следует изучить перед соответствующим практическим занятием. Затем приводятся типовые задачи с полным решением. Все подразделы заканчиваются задачами для самостоятельной работы в количестве, по нашему мнению, достаточном для аудиторной и домашней работы. Кроме этого имеется программное и методическое обеспечение, позволяющее тиражировать индивидуальные задания и контрольные работы в практически неограни-

ченном числе вариантов. Некоторые индивидуальные задания, примеры которых приведены в [5], можно выполнять в режиме автоматизированного самоконтроля при наличии устройства "Символ"или его компьютерного аналога. Все перечисленное и составляет полное методическое обеспечение учебной дисциплины, все части которого написаны с единых позиций.

Изучать теоретический материал предлагается по учебным пособиям [1-8], приведенным в списке литературы. Не исключается использование и других учебников и учебных пособий или отдельных их частей для более глубокого усвоения материала, включая их в соответствующие подразделы данного пособия.

Авторы с благодарностью примут все критические замечания и учтут их в дальнейшей работе над практикумом.

Рекомендуется изучить по учебному пособию [5] раздел 1.1 (с. 7-12) и ознакомиться с решением задач, приведенных ниже.