Напомним, что окрестностью \(O(x^0)\) точки \(x^0\) в метрическом пространстве \(X\) называется любое множество, для которого точка \(x^0\) является внутренней. Проколотая окрестность \(\dot(x^0)\) получается из \(O(x^0)\) удалением самой точки \(x^0\), т.е. \(\dot(x^0)=O(x^0)\backslash\\).

Будем рассматривать функции \(f:\;M\rightarrow R\), где \(M\) есть некоторое множество, принадлежащее метрическому пространству \(X\). Если \(X=R^n\), то функция \(f:\;M\rightarrow R\) называется функцией многих переменных и обозначается обычно следующим образом:

Например, функция \(\displaystyle \sqrt<1-x_1^2-x_2^2>\) определена в единичном круге пространства \(R^2\) с центром в точке \((0,0)\), а функция \(\operatorname(x_1^2+x_2^2)\) определена в любой проколотой окрестности точки \((0,0)\).

Эквивалентность двух определений предела доказывается так же, как и для функций одной переменной (§ 9).

Если число \(A\) есть предел функции \(f(x)\) при \(x\rightarrow x_0\), то будем писать

Если функция двух переменных \(f(x,y)\) определена в \(\dot((a,b))\), a число \(A\) есть ее предел при \((x,y)\rightarrow(a,b)\), то пишут

Аналогично, для функции \(n\) переменных наряду с обозначением \(A=\displaystyle\lim_f(x)\) будем использовать обозначение

Пусть функции \(f(x)\) и \(\varphi(x)\) определены в \(\dot(x^0)\) и \(|f(x)|\leq \varphi(x)\) в \(\dot(x^0)\). Если \(\displaystyle\lim_\varphi(x)=0\), то и \(\displaystyle\lim_f(x)=0\).

\(\circ\) Так как \(\displaystyle\lim_\varphi(x)=0\), то для любого \(\varepsilon\;>\;0\) найдется шар \(S_<\delta>(x^0)\) такой, что для всех \(x\in S_<\delta>(x^0)\) выполнено неравенство \(|\varphi(x)|\;<\;\varepsilon\). Тем более для всех \(x\in S_<\delta>(x^0)\) выполнено неравенство \(|f(x)|\;<\;\varepsilon\), т.е. \(\displaystyle\lim_f(x)=0\). \(\bullet\)

\(\triangle\) Возьмем любое \(\varepsilon\;>\;0\). Положим \(\delta=\varepsilon^<1/(2a)>\). Пусть \((x,y)\in S_\delta(0, 0)\), тогда

\(\triangle\) Рассмотрим последовательность точек \((x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac<1>,\frac<1>\right)\). Тогда \(f(x_n,y_n)=1\) и, следовательно, \(\displaystyle \lim_f(x_n,y_n)=1\). Если же взять последовательность точек \((x_n',y_n')=\displaystyle\left(\frac<1>,-\frac<1>\right)\), то \(\displaystyle \lim_f(x_n',y_n')=-1\).

Так как при любом \(n\in N\) точки \((x_n,y_n)\) и \((x_n',y_n')\) не совпадают с точкой \((0,0)\), а последовательности точек \((x_n,y_n)\) и \((x_n',y_n')\) сходятся к точке \((0,0)\), то, используя определение 2 предела, получаем, что функция \(f(x,y)\) не имеет предела при \((x,y)\rightarrow (0,0)\). \(\blacktriangle\)

\(\triangle\) Повторяя рассуждения примера 3, построим две последовательности точек \((x_n,y_n)=\displaystyle\left(\frac<1>,\frac<1>\right)\) и \((x_n',y_n')=\displaystyle\left(\frac<1>,\frac<1>\right)\). Так как \((x_n,y_n)\rightarrow(0,0)\) и \((x_n',y_n')\rightarrow(0,0)\), а \(\displaystyle\lim_f(x_n,y_n)=0\) и \(\displaystyle\lim_f(x_n',y_n')=1\), то двойной предел функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow(0,0)\) не существует. \(\blacktriangle\)

Предел \(\displaystyle\lim_f(x)\) был определен ранее для функции, заданной в \(\dot(x^0)\). Расширим определение предела, введя понятие предела по множеству.

Пусть функция двух переменных \(f(x,y)\) определена в проколотой окрестности \(\dot(x_0,y_0)\). Пределом функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) по направлению \(l=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) будем называть выражение

\lim_f(x_0+t\cos\alpha,\;y_0+t\sin\left(\alpha\right))=\lim_<\begin(x,y)\rightarrow(x_0,y_0)\\(x,y)\in\dot O(x_0,y_0)\cap L\\\end>f(x,y),\nonumber

где \(L\) есть луч, выходящий из точки \((x_0,y_0)\) в направлении \(l\).

Показать, что предел функции \(f(x,y)=\displaystyle \frac<2xy>\) в точке \((0,0)\) по любому направлению \(l=(\cos\alpha,\;\sin\alpha)\) существует и равен \(\sin 2\alpha\).

Показать, что предел функции \(f(x,y)=\displaystyle \frac<2x^2y>\) в точке \((0,0)\) по любому направлению \(l=(\cos\alpha,\;\sin\alpha)\) существует и равен нулю.

Если \(\sin\alpha=0\), то \(f(t\cos\alpha,\;t\sin\alpha)=0\) и, следовательно,

Ясно, что из существования \(\displaystyle\lim_f(x)\) следует существование \(\displaystyle\lim_f(x)\) для любого подмножества \(M'\subset M\), для которого \(x'\) есть предельная точка. В частности, из существования двойного предела функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow (x_0,y_0)\) следует существование предела функции \(f(x,y)\) в точке \((x_0,y_0)\) по любому направлению и равенство этих пределов двойному пределу функции \(f(x,y)\) при \((x,y)\rightarrow (x_0,y_0)\).

Из результатов примеров 4 и 6 следует, что из существования и равенства пределов по любому направлению в точке \((x_0,y_0)\) не вытекает существование в этой точке предела функции.

Предел функции \(f(x)\) в точке \(x^0\in R^n\) по направлению \(l=(l_1,\ldots,l_n)\), где \(l_1^2+\ldots+l_n^2=1\), определяется по аналогии со случаем функции двух переменных.

Пусть функция двух переменных \(f(x,y)\) определена на множестве

Пусть \(\forall x\in (x_0-a,\;x_0+a),\;x\neq x_0\), существует \(\displaystyle\lim_f(x,y)=g(x)\), а функция \(g(x)\) определена в проколотой окрестности точки \(x_0\). Если существует \(\displaystyle\lim_g(x)=\lim_\lim_f(x,y)\), то этот предел называется повторным. Аналогично определяется другой повторный предел \(\displaystyle\lim_\lim_f(x,y)\).

Как показывают простые примеры, из существования двойного предела не следует существование повторных пределов, а из существования и равенства повторных пределов не следует существование двойного предела.

Так для функции \(\displaystyle f(x,y)=\frac<2xy>\) примера 3 двойной предел при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) не существует, но оба повторных предела равны нулю, так как

справедливо неравенство \(|f(x,y)|\leq|x|\). В силу леммы 1 двойной предел этой функции при \((x,y)\rightarrow (0,0)\) равен нулю. Но при \(x\neq 0\) не существует

а поэтому не существует и соответствующий повторный предел.

Бесконечные пределы для функций многих переменных определяются по той же схеме, что и для функций одной переменной. Например, \(\displaystyle\lim_f(x)=+\infty\), если для любого числа \(C\;>\;0\) число \(\delta\;>\;0\), что для всех \(x\) из проколотой окрестности \(\dot(x^0)\) точки \(x^0\) выполнено неравенство \(f(x)\;>\;C\).

и \(\displaystyle\lim_t^2e^<-t>=0\), то \(\forall \varepsilon\;>\;0\;\exists\delta\;>\;0\) такое, что \(\forall t\;>\;\delta\) выполнено неравенство \(t^2e^<-t>\;<\;\varepsilon\). Но тогда \(\forall x\;>\;\displaystyle\frac<\delta><2>\) и \(\forall y\;>\;\displaystyle\frac<\delta><2>\) справедливо неравенство