Глава II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть функция непрерывна на отрезке и точка является внутренней точкой этого отрезка.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при , если этот предел существует (конечный или бесконечный), т. е.

.

Если , то говорят, что функция имеет бесконечно большую производную.

Если существуют только односторонние пределы при , то функция имеет односторонние производные .

Если функция имеет производные в любой точке интервала , то называется производной функции на этом интервале.

Дифференцируемость функции, ее взаимосвязь с производной

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где , при .

Если функция дифференцируемая в точке , то она имеет конечную производную в этой точке. Действительно,

.

Справедливо также обратное утверждение, если функция одной переменной имеет конечную производную, то она дифференцируемая. Пусть , где . По теореме 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции

.

Следовательно, является дифференцируемой функцией.

Рассмотрим, как связана дифференцируемость функции с ее непрерывностью.

Если функция, дифференцируемая в точке, то она непрерывна в этой точке. Действительно, , что соответствует определению 1 непрерывности функции в точке.

Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.

Например, функция является непрерывной в точке x = 0 (рис. 16) , а ее производная в точке x = 0 не существует (рис. 17). Следовательно, является не дифференцируемой в точке х = 0.

Найти производные функций, используя определение производной.

1. . Производная постоянной равна нулю.

2. .

Таким образом, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке (рис. 18).

Используем этот факт, запишем уравнение касательной в точке

.

Пусть S = S(t) является функцией зависимости пути от времени. Тогда

.

Отсюда следует, что производная функции равняется мгновенной скорости изменения функции.

Пусть u = u(x) и v = v(х) – дифференцируемые функции. Получим формулы дифференцирования суммы, произведения и частного функций. При этом используем определение производной и свойства пределов.

.

.

.

4. Производная сложной функции , .

.

Правило нахождения производной сложной функции. Производная сложной функции равняется произведению производных составляющих функций; причем при нахождении производных составляющих функций их аргументы не изменяются.

5. Производные взаимно обратных функций и .

.

Следовательно, производные взаимно обратных функций являются обратными по величине.

Получим формулы для нахождения производных основных элементарных функций.

1. . При нахождении производной функции используем определение производной, формулы преобразования тригонометрических выражений и первый замечательный предел.

.

2. . Используем формулы приведения и производную сложной функции, получим

.

3. . Используем формулу дифференцирования частного, получим

.

4. . .

При выводе формул нахождения производных обратных тригонометрических функций используем взаимосвязь производных взаимно обратных функций и формулы взаимосвязи тригонометрических функций.

5. . Для обратной функцией является .

.

6. .

.

7. .

.

8. .

.

9. .При нахождении производной логарифмической функции используем определение производной и второй замечательный предел.

.

В частном случае, когда a = e, .

10. При нахождении производной показательной функции используем так называемое логарифмическое дифференцирование. Для этого логарифмируем равенство , получаем . Это равенство дифференцируем; при этом учитываем, что сложная функция.

.

В частном случае, когда a = e , .

11. Производную степенной функции найдем так же, используя логарифмическое дифференцирование.

.

В практических задачах часто встречаются производные от функций и , которые полезно помнить.

. .

12. Производная обобщенно-показательной (показательно-степенной) функции . Используем определение логарифма, представим функцию в виде Эту функцию дифференцируем как сложную показательную функцию.

=

= .

Как можно заметить производная обобщенно-показательной функции равняется сумме производных как показательной и как степенной функций.

Например: 1) ;

2)

.

Функция называется заданной неявно, если она задана уравнением , не разрешенным относительно y. Чтобы найти производную функции , заданную неявно, необходимо каждое слагаемое уравнения продифференцировать по x, учитывая, что y зависит от x, и из получившегося уравнения найти .

Пример 2.1. Найти производные функций , заданных неявно.

1) . Находим .

2) . Получаем Þ

Þ .

Функция называется заданной параметрически, если функция y и аргумент x заданы в виде функций, зависящих от некоторого параметра t, т. е.

.

Здесь предполагается, что функция имеет обратную функцию .

Например, пусть функция в параметрической записи имеет вид

,

,

т. е. данная функция представляет окружность в параметрической записи.

Рамка размеры инженерная графика
Проверка на совместимость матрицы