В графической форме действия с неколлинеарными векторамивыполняются поправилам треугольника ипараллелограмма, а в пространстве по правилупараллелепипеда.
При сложении двух векторов оба слагаемых и результирующий вектор лежат в одной плоскости (почему?).
Если два вектора являются сторонами параллелограмма, то одна из диагоналей этого параллелограмма представляет сумму этих векторов, а вторая – разность.
В С В - В
+
А D
Пусть материальная точка А переместилась сначала в точку В, а затем в точку С. В результате двух перемещений, которые можно представить векторами и точка А переместилась из точки А в точку С.
С Т.е. = +
Операция сложения векторов определяется следующим образом: чтобы сложить два вектора, необходимо от конца первого вектора отложить второй вектор и начало первого вектора соединить с концом второго.
Для операции сложения векторов справедливы свойства, аналогичные свойствам сложения чисел:
+ = + (правило параллелограмма)
+ = + =
2.Сочетательный закон: + ( + ) = ( + ) +
С = + = + = ( + ) +
= + = + = + ( + )
Сложение нескольких векторов производится следующим образом:
–от некоторой удобной точки откладывается первый вектор, от конца первого вектора откладывается второй и т.д.
–начало первого вектора соединяется с концом второго, и этот вектор является суммой всех слагаемых векторов.
А АВ = + + + +
Разностью векторов и называется такой вектор , сумма которого с вектором ,
равна вектору , или: разность векторов и это сумма вектора и вектора –
–
– +(– )
–
Произведение вектора на скаляр (число) называется вектор · (или · ),
который имеет длину · , коллинеарен вектору , имеет направление вектора ,
если > 0 и противоположное направление, если <0.
1. Если дан вектор , то векторы 3 и - 2 будут иметь вид: 3 - 2
2. Для данных векторов и постройте векторы;а) +2 ; б) 2 + ; в) –
В А
а); = +2 б) = 2 + ;
А
в) – = + (– )
–
–
3. В треугольнике АВС укажите векторы:а) + ; б) + ;
К С М а) + =
б) + =
в) + =
4. В параллелограмме АВСD О - точка пересечения диагоналей АС и ВD. Найти +
D С С
А В + = В
5.Втреугольнике АВСАD - медиана. Найти -
D
- = + =
6.На стороне СD квадрата АBСD лежит точка Р так, что СР = РD, О –точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , , через векторы = и = .
B С
А D = = ( + ) = ( + )
= + = +
+ = = – = – – = – ; = – ;
7. На стороне BС ромба АBСD лежит точка K так, что ВК = КС, О –точка пересечения диагоналей. Выразите векторы , , через векторы = и = .
АBСD –ромб = = и = =
= =
О = + = +
А D = = ( + ) = ( + )
8. В параллелограмме АВСD О - точка пересечения диагоналей АС и ВD. АК = КО. Выразить
через и
D С Если два вектора являются сторонами параллелограмма,
О представляет сумму этих векторов = + ,
К а вторая – разность: = -
А В = = ( - )
Некомпланарными являются три вектора, не лежащие в одной плоскости
D Векторы , , - компланарные, так как лежат
Векторы , , ,- не компланарные, так как
М
О N
Для сложения трех некомпланарных векторов пользуются правилом параллелепипеда– пространственным аналогом правила параллелограмма.
Пусть векторы ; и некомпланарны. Отложим их от одной точки О. Тогда, сумма + - диагональ параллелограмма: . Но векторы и отложены от
одной точкиО, т.е. их также можно сложить, пользуясь правилом параллелограмма.
Экспоненты определение
Теория чисел деление с остатком