Степенные ряды: Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Высшая математика»/ Ю.Б. Егорова, И.М. Мамонов, А.В Челпанов. М.: МАТИ, 2009. – 20 с.

Методические указания предназначены для студентов дневного и вечернего отделений факультета № 14 специальностей 150601, 160301, 220301, 230102.

Степенным рядом, разложенным по степеням x, называется функциональный ряд вида:

(1)

или в сокращенном (свернутом) виде , гдеa_n – коэффициенты степенного ряда.

Степенным рядом, разложенным по степеням (x-a), называется функциональный ряд вида:

(2)

или в сокращенном (свернутом) виде , гдеа - константа.

Давая х числовые значения, ряды (1) и (2) становятся числовыми рядами, которые могут как сходиться, так и расходиться. Совокупность значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится при некотором х=х₀, то он сходится абсолютно при всех х, для которых .

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда, разложенного по степеням х, является интервал сходимости (-R; R) с центром в т. х=0.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Внутри интервала степенной ряд сходится абсолютно, вне интервала – расходится. На концах интервала ряд может, как сходиться, так и расходиться. Если R=0, то степенной ряд сходится только в одной точке х=0. Если R=∞, то ряд сходится при всех х.

Для отыскания радиуса и интервала сходимости необходимо сначала составить ряд из абсолютных величин (модулей) членов степенного ряда (1):

(3)

Теорема. Степенной ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд (3), составленный из абсолютных величин (модулей) членов степенного ряда (1).

Ряд (3) – это ряд с положительными членами, поэтому для исследования его сходимости (определения радиуса и интервала сходимости) можно применять признаки сходимости рядов с положительными членами, например признак Даламбера или радикальный признак Коши.

Для нахождения радиуса сходимости можно также использовать следующие формулы:

, (4)

(5)

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем коэффициенты степенного ряда:

Следовательно, интервал сходимости (-∞; +∞), т.е. данный ряд сходится при всех значениях х.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем коэффициент степенного ряда:

Следовательно, интервал сходимости (-2; 2). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

Для исследования его сходимости применим необходимый признак сходимости. Так как то ряд расходится (не выполняется необходимое условие сходимости).

Для исследования его сходимости можно также применить необходимый признак сходимости. Так как то ряд расходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Следовательно, интервал сходимости (-1; 1). Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При х=1 получим ряд с положительными членами (гармонический ряд). Для исследования его сходимости можно применить интегральный признак сходимости Коши. Имеем:

Интеграл расходится, поэтому расходится и гармонический ряд.

При х=-1 получим знакочередующийся ряд: .

Для исследования его сходимости применим признак Лейбница. Все условия теоремы Лейбница выполнены:

члены ряда монотонно убывают (по модулю): ;

общий член ряда (по модулю) стремится к нулю:

Следовательно, ряд сходится. Причем этот ряд сходится условно, так как ряд из абсолютных величин членов данного ряда (гармонический ряд) расходится.

Таким образом, область сходимости степенного ряда