где

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующие два условия: 1) и .

Возьмем п-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница

пусть -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и п-й частичной суммой т.е.

Величина оценивается с помощью неравенства

В этом случае исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

то

Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Так как

то выполняется и второе условие. Значит, данный ряд сходится.

Этот ряд бесконечно убывающая геометрическая прогрессия п, следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно.

Ряд члены которого – функции от х, называются функциональным. Совокупность значений х, при которых функции определены и ряд сходится, называют областями сходимости функционального ряда. Каждому значению из области сходимости Х соответствует определенное значение величины .Эту величину называют суммой функционального ряда и обозначают через S(x).

Функциональный ряд вида

где - действительные числа, называется степенным.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству (теорема Абеля).

Одним из следствий теорем Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости , или с центром в точке , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие - либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи – расходятся на обоих концах.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1 способ. Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности х-а, то

(3)

при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

(4)

3 способ. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степенной разности любая, то

(5)

где - коэффициенты, отличные от нуля.

4. способ. Во всех случаях интервал сходимости ряда можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Степенные ряды обладают следующим свойством: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равны соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда. Если

, то

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно произвести над степенным рядом сколько угодно раз.

Решение: Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q= . Он сходится, если и расходится, если . Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством . Там же результат можно получить, используя формулы (4), (5).

Решение: В данном случае имеем при п=2k-1 и при п=2k. Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать формулу (5).

Исследуем ряд на концах интеграла сходимости. Полагая , получаем числовой ряд

Но Таким образом, при х-2 . Итак, область сходимости данного ряда

получаем

Таким образом, ряд сходится, если , т.е.

ряд сходится, если , т.е.

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале т.е. , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

где - остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда),

При получается степенной ряд Маклорена:

Если в некотором интервале, содержащем точку , при любом п выполняется неравенство , где М – положительная постоянная, то и функция f(x) разложима в ряд Тейлора.

;

;

;

при

при

при

;

.

Пример. Разложить в ряд по степеням х функцию

Решение: Найдем значения функции и её производных при х =0.

, ,

,

,

Так как 0 < ln 2<1, то при фиксированном х имеет место неравенство для любого п. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:

,

Пример. Разложить в ряд по степеням х функцию

,

В точке х = 0 находим , а значение f (n+1) (х) определяем в точке х=с. Получаем f(0)=0, ,

Так как при любом х, а величина ограниченная, то . Следовательно, функцию можно представить в виде суммы ряда Маклорена

.

Пример. Разложить в ряд по степеням х.

.

.

.

.

Решение: Воспользуемся равенством . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем

Графики функции производной
Инженерная графика графические работы миронов