Основные характеристики функции. - раздел Математика, Предел и производная функции одной переменной 1. Возрастающие И Убывающие Функции. .

Возрастающие и убывающие функции на (а;b) называются монотонными на этом интервале.

Функция y=f(x) называется нечетной, если область определения функции D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=-y(x).

График нечетной функции имеет симметрию относительно точки О(0;0). Пример: y=x 3 .

Функция y=f(x) называется четной, если область определения D(y) симметрична относительно точки О(0;0) и y(-x)=y(x).

График четной функции имеет симметрию относительно оси Оy.

Функции, не являющиеся четными или нечетными, называются функциями общего вида.

Функция y=f(x) называется периодической с наименьшим положительным периодом T, если f(x+T)=f(x).

Пусть функция y=f(x) действует из множества D во множество E (D®E), а функция x=x(t) действует из множества T во множество D (T®D), тогда сложная функция y=f(x(t)) действует из T в E.

Пусть y=f(x) действует D®E, обратная функция x=j(y) действует из E®D.

Пример: y=2x –3. Выразим отсюда x: x=(y+3)/2, заменим x на y, а y на x y=(x+3)/2 – обратная функция.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение. высшего профессионального образования. Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ.

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные характеристики функции.

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

1. Линейная функция. y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R. 2. Степенная функция.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел). Задают числовую последовательность с по

Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. - число. В противном случае последовательность назыв

Определение: Последовательность называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N

1. Единственность. Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел. 2. Арифметические действия. Теорема: Есл

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки. 1) Определение предела функции на языке : Число А н

Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен. Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a и . Возьмем e>

Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x0, если . Обозначается a(x) – б/м при x®x0. Функция a(x)

1. Сумма двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б

Теорема о представлении функции, имеющей предел: Для того чтобы число Абыло пределомфункции f(x) при x®x0 , необходимо и достаточно, чтобы в нек

Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах». Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x). Тогда если

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x. х у

Доказательство: Вспомним число как предел числовой последовательности: I случай. Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть ч

Рассмотрим отношение двух б/м a(x) и b(x), т.е. a(x) и b(x) ®0 при x®x0. Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка м

Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией. Док-во: Докажем непрерывность суммы непрерывных функций. П

Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение функции f(x0) 0.

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрес

Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Док-во: По определению производной: =

На графике функции возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую. x0

1. . Док-во: Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда . Так как , то . Þ (C)¢=0. Ч.т.д. 2. Если фун

Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tÎT. Пример: — параметрическое уравнение окружности с центро

Пусть функция определена в точке x0 и ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx, тогда функция получает приращение Dy: , где А - число, a(Dx) - б/м более высокого порядка малости

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала

Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. - также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. - производная второго порядка или вторая произ

Из пучка прямых, проходящих через точку , выберем одну прямую — касательную к графику функции: . Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: . Þ .