Понятия предела и непрерывности функции обобщаются на случай функций, значениями которых являются комплексные числа и которые заданы на подмножествах множества комплексных чисел.

К таким функциям относятся, например, функции f(z) = |z|, f(z) = , f(z) = z 2 , f(z) = 1/z. Первые три определены на всей комплексной плоскости C , а последняя - на комплексной плоскости, из которой удалена точка 0; первая принимает только неотрицательные действительные значения, три последние - существенно комплексные.

Итак, будем здесь предполагать, что функция f задана на некотором подмножестве Z множества комплексных чисел C и принимает комплексные значения, т. е. что

f(z) C , z Z C .

Комплексное число w₀ называется пределом функции f в точке z₀ (или, что то же самое, при z z₀), если для любой последовательности комплексных чисел z_n Z, n 1, 2, . для которой z_n = z₀ (см. п. 5.11), имеет место равенство f(z_n) = w₀. В этом случае пишут f(z) = w₀.

В терминах окрестностей точек на комплексной плоскости (п. 5.11) это определение равносильно следующему.

Комплексное число w₀ называется пределом функции f в точке z₀, если для любой окрестности V точки w₀ существует такая окрестность U точки z₀, что

На "языке - " это означает следующее: для любого > 0 существует такое > 0, что для всех z Z, для которых |z - z₀| < , выполняется неравенство

Доказательство эквивалентности двух сформулированных определений предела функции комплексного переменного - в терминах последовательностей и в терминах окрестностей - проводится аналогично случаю функций действительного аргумента, принимающих действительные значения.

При рассмотрении предела функции f в точке z₀ возможны два случая: z₀ принадлежит множеству Z, на котором задана функция f, или не принадлежит ему. Если z₀ Z, то существование предела функции f в точке z₀ означает, что

В этом случае функция f называется непрерывной в точке z₀.

Если f(z) = u(z) + v(z)i, w₀ = u₀ + v₀i, u(z), v(z), u₀, v₀ R , то существование предела f(z) равносильно, как это легко видеть, существованию пределов u(z) = u₀ и v(z) = v₀, причем в случае существования указанных пределов имеет место равенство

f(z) = u(z) + v(z) = v₀i.

В частности, функция f(z) непрерывна в точке z₀ тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны функции u(z) и v(z).

Заметим, что функции u(z) и v(z) принимают действительные значения, но их аргументы - комплексные числа, поэтому пределы этих функций и их непрерывность понимаются в смысле сделанных выше определений для функций комплексного переменного.

На комплекснозначные функции комплексного аргумента переносятся многие свойства предела функций, доказанные выше в этом параграфе для действительных функций действительного аргумента. Например, предел линейной комбинации функций, имеющих пределы в некоторой точке, равен такой же линейной комбинации этих пределов.

Функция f(z) называется ограниченной на множестве Z C , если на этом множестве ограничена ее абсолютная величина | f(z)|.

Как и раньше, справедливо утверждение: если функция f имеет предел при z z₀, то она ограничена в некоторой окрестности точки z₀.

Переносятся на случай функций комплексного аргумента понятие предела при стремлении аргумента к бесконечности и понятие бесконечного предела. Ограничимся формулировкой общего понятия предела (конечного и бесконечного) лишь в терминах последовательностей.

Бесконечность называется бесконечно удаленной точкой комплексной плоскости C , в связи с чем точки самой комплексной плоскости C называются также и конечными точками.

Конечная или бесконечно удаленная точка w₀ комплексной плоскости C называется пределом функции f при z z₀, где z₀ - также конечная или бесконечно удаленная точка, если для любой последовательности

z_n Z, n 1, 2, . для которой z_n = z₀, имеет место f(z_n) = w₀.

Это определение предела (как и все сформулированные выше) содержательно, конечно, лишь в том случае, когда существует такая последовательность z_n Z, n 1, 2, . что z_n = z₀. В этом случае точка z₀ называется соответственно конечной или бесконечно удаленной точкой прикосновения множества Z .