Определение 1. Если задан закон, который каждому вектору x∈Λ ставит в соот ветствие вектор y ∈Λ, то говорят, что в линейном пространстве Λ задан оператор A , при этом пишут:

Определение 2. Оператор A называется линейным, если для любых x 1 ∈Λ и x 2 ∈Λ и произвольного числа α выполняются условия:

Рассмотрим теперь в евклидовом пространстве E n базис e 1 ,e 2 . e n и пусть в этом пространстве определён линейный оператор A : y = A x .

Заметим, что каждый вектор , следовательно, его также можно разложить по базису e 1 ,e 2 . e n , т.е.

В силу единственности разложения по данному базису мы можем при равнять коэффициенты при базисных векторах в правых частях формул (1) и (2); тогда получим:

Получили, что линейному оператору A в данном базисе соответствует квадратная матрица

которая называется матрицей линейного оператора A , i -й столбец которой состоит из координат вектора Ae i (i = 1,2. n ) относительно данного базиса. Отметим, что матрица A оператора A зависит от выбора базиса e 1 ,e 2 . e n .

Итак, мы показали, что всякому линейному оператору A в евклидовом пространстве E n соответствует матрица A ; можно доказать и обратное утверждение: всякую квадратную матрицу A можно рассматривать как матрицу некоторого линейного оператора A в данном базисе e 1 ,e 2 . e n .

Представляют интерес невырожденные линейные операторы, т.е. такие операторы, матрицы которых имеют обратную A -1 , т.е. также являются невырожденными. В этом случае каждому вектору y (образу), определённому соотношением, отвечает единственный вектор x (прообраз) и при этом имеет место матричное равенство: X = A -1 ⋅ Y .

1. В пространстве 2-мерных векторов линейным оператором является правило

связывающее вектор-прообраз с вектором-образом

2. В пространстве бесконечно дифференцируемых функций линейным оператором является операция дифференцирования, ставящая в соответствие каждому элементу этого простран ства его производную функцию.

3. В пространстве многочленов P n (t) линейным оператором является операция умножения многочлена на независимую переменную t .

Пример: Известны образы базисных векторов E 3 под действием оператора A :

Решение: По определению y = A x, значит в матричном виде можно записать, что A = X -1 Y . Для нашего примера получаем

Сложение линейных операторов. Пусть x∈E n , A и B - два линейных оператора в этом пространстве.

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B в E n называется оператор C, определяемый равенством Cx = A x + Bx , где x – любой вектор из E n .

Сумма линейных операторов является линейным оператором, причём его матрица C = A + B, где A и B - матрицы линейных операторов A и B .

Умножение линейного оператора на число. Пусть x∈E n , линейный оператор A определён в E n , α - некоторое число.

Определение 2. Произведением линейного оператора A на число α называется оператор αA , определяемый равенством .

αA является линейным оператором, а матрица этого линейного оператора получается из матрицы A умножением её на число α , т.е. она равна α ⋅ A.

Умножение линейных операторов. Пусть x∈ E n , y ∈ E n , z ∈ E n и кроме того в E n определены линейные операторы A и B таким образом, что y = Bx, z = A y .

Определение 3. Произведением A ⋅ B линейных операторов A и B называется оператор C, определяемый соотношением Cx = A (Bx) .

Таким образом, перемножение линейных операторов состоит в последовательном их применении по отношению к вектору x .

и обозначим через A, B и C - соответственно матрицы линейных операторов A, B и C. Тогда Z = A ⋅ (B ⋅ X) = (A ⋅ B) ⋅ X = C ⋅ X , таким образом, C = A ⋅ B, т.е. матрица произведения линей ных операторов также является линейным оператором.

a) (A ⋅ B)(x + y) = A (B(x + y)) = A (Bx + By) = A (Bx) + A (By) = = (A ⋅ B) ⋅ x + (A ⋅ B) ⋅ y

Свойства умножения линейных операторов вытекают из свойств умножения матриц.

Определение 4. Линейные операторы A и В называются равными, если . Равенство операторов обозначается как A = B .

Определение 5. Оператор E называется единичным (или тождественным) оператором, если каждому элементу x линейного пространства он ставит в соответствие тот же самый элемент, то есть