Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид
,
где ¾ произвольная точка на прямой, а – направляющий вектор. Если уравнение прямой записано в виде
,
то – направляющий вектор, а - вектор нормали (направленный по перпендикуляру к прямой). Нам потребуется еще формула деления отрезка пополам: если задан отрезок , и координаты точек , известны, то серединой отрезка является точка
.
Задача 1.3.В треугольнике ABC с вершиной A(10,7) известны уравнения высоты BB1:
C
Решение. Проще всего написать уравнение стороны , поскольку мы знаем точку , через которую проходит прямая , и знаем направляющий вектор (вектор нормали к высоте ). Следовательно, уравнение имеет вид
Чтобы написать уравнение прямой , найдем сначала координаты точки . Обозначим эти координаты через . С одной стороны, точка лежит на прямой , и, следовательно,
С другой стороны, поскольку является серединой отрезка , то . Но лежит на прямой , поэтому
Итак, точка имеет координаты , направляющий вектор прямой равен . Уравнение прямой имеет вид
Прежде чем написать уравнение прямой , найдем координаты точки . Она лежит на пересечении прямых и , поэтому ее координаты являются решением системы уравнений
За направляющий вектор прямой можно взять вектор
,
а уравнение запишется в виде
Аналитическая геометрия в пространстве.
Нам необходимо знать следующие три операции над векторами в трехмерном пространстве.
где , – длины векторов и , а - угол между ними. В координатах: если , , то
2) Векторное произведение векторов: есть вектор,
а) направленный по нормали к плоскости, натянутой на вектора , ;
б) имеющий длину, равную площади параллелограмма , построенного на векторах , ;
в) и, наконец, направление вектора должно быть таким, что вращение от вектора к вектору внутри параллелограмма будет осуществляться против часовой стрелки, если глядеть с конца стрелки вектора .
.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что есть объем параллелепипеда, построенного на векторах
Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:
где - координаты произвольной точки прямой, а есть произвольный направляющий вектор.
Имеется два типа уравнения плоскости в пространстве
а) .
Здесь - вектор нормали к плоскости, а - координаты произвольной точки плоскости.
б) ,
где , - любые два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, а , по-прежнему, произвольная точка плоскости.
Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.
Решение.а). Найдем векторы и в координатах. Напомним, что для этого следует из координат конца вектора вычесть координаты начала:
,
.
Чтобы найти угол между векторами , , вычислим скалярное произведение векторов и в координатах, затем найдем длины векторов и , и подставим полученные значения в формулу скалярного произведения. Получаем:
,
,
.
,
откуда , .
б) Угол между ребром AD и плоскостью ABC равен , где - угол между ребром AD и нормалью к плоскости ABC. Начнем поэтому с вычисления нормали к плоскости ABC. В качестве вектора нормали можно взять векторное произведение векторов и (поскольку ). Вектор в координатах имеет вид
.
Обозначим для краткости . Теперь, как и в пункте а) вычислим скалярное произведение векторов и , и с его помощью определим угол между векторами и .
,
,
,
.
Следовательно, угол между ребром AD и плоскостью ABC равен .
в) Площадь основания ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . По второму свойству векторного произведения, длина вектора как раз и равна площади этого параллелограмма. Следовательно,
.
г) Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Объем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного произведения . Имеем:
.
Заметим, однако, что нам нет необходимости заново вычислять этот определитель, поскольку он равен скалярному произведению векторов и , а эта величина была найдена выше, в пункте б). Следовательно,
.
д) Расстояние от вершины D до плоскости ABС можно найти, используя формулу объема пирамиды
,
поскольку все величины в ней, кроме высоты (которая и равна расстоянию от точки D до плоскости ABС), уже известны. Получаем:
.
В заключение, напишем уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.
Направляющий вектор высоты равен (21,27, 18). Высота проходит через точку D(7, -1,17). Следовательно, каноническое уравнение высоты имеет вид
.
Чтобы написать уравнение плоскости , воспользуемся уравнением . В качестве вектора вновь можно использовать вектор нормали , а в качестве – точку A(10,7, 1). Получаем:
Отношение равно меньше больше на множестве целых неотрицательных чисел