Интегрирование по комплексному аргументу Теорема Коши Интегральная формула Коши Интеграл от функции комплексного переменного Вычисление интеграла от функции комплексного переменного Интегрирование многозначных функций Теорема Коши для многосвязной области Интегральная формула Коши Существование производных всех порядков у аналитической функции

и 7+ имеют противоположную ориентацию (рис. 16 а). длина кривой 7. Тогда Доказательство формулы (6) вытекает непосредственно из определения интеграла: переходя в соотношении — длина ломаной, вписанной в кривую 7, получим требуемое. . Вычисление интеграла от функции комплексного переменного Пусть — параметрическое представление гладкой кривой 7. Тогда справедлива следующая формула: В самом деле, при помощи формулы (5) вычисление интеграла от функции комплексного переменного сводится к вычислению кривол инейных интегралов (4) от действительны хфункций. Эти интегралы можно вычислитьсведением к обыкновенным, Подсггаидяя полученные выражения в правую часть формулы (5), получим требуемое: Р Р Пример 1. Пожжем . ЧТО где 7Г — окружность радиуса г с центром а точке zo, обходимая против часовой стрелки. Окружность 7 г имеет следующее параметрическое п ре дет а вление: Отсюда вытекает, что Заметим, что значение интеграла (9) не зависит ни от г, ни от «о. Рассуждая аналог ично, убвжда емся в том, что где п — целое число, п Ф I. В самом деле, 3.3. Теорема Коши Теорема 3. Пусть функция f(z) аналитинна в односвязной области D, 7 — произвольная В силу соотношения достаточно показать, что интегралы равны нулю. Обозначим внутренность контура 7 через G. Так как функция f'(z) непрерывна всюду в области G, то функции в этой области имеют непрерывные частные производные первого порядка. Ввиду кусочной гладкости контура 7 выполнены все условия, позволяющие применить к интегралам (12) формулу Грина. Имеем В силу условий Коши—Римана подынтегральные выражения в каждом из двойных интегралов (13) тождественно равны нулю. Замечание. Р.слифунмшя /(г) аналитична в односвязной области D, то значение интеграла взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой кривой 7, принадлежащей области D, не зависит от выбора кривой 7. а определяется лишь положением начальной и конечной точек этой кривой. Чтибы подчеркнуть независимость интеграла / / dz отпуги интегрирования, будем обозначатьегоследуюшим 7 образом: где zq и 2\ — соответственно начальная и конечная точки кривой 7. Теорема 4. Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D; точки zo и z принадлежат D. Тогда функция аналитична в области D, и можно представить в следующем виде: Будем считать, что интеграл в равенстве (14) вычисляется вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки z и z + h (рис. 17). — Замечая, что оценим разность Рис. 17 В силу непрерывности функции в точке z, для любого найдется такое, что при выполняется неравенство . Пусть Тогда Покажем, что любая первообразная Ф(г) функции f(z) выражается формулой где с — постоянная, Положим Тогда Отсюда вытекает, что и значит, — постоянные. Следовательно, . Полагая в формуле z = zo, получим, что Заметим, что формулу (16) с учетом равенства Ф(го) = с можно записать в следующем виде: Тем самым, если функция f(z) аналитична в односвязной области D, содержащей точки zq и z , то, как и в действительном случае, имеет место формула Ньютона-Лейбница (18), где Ф(г) — какая-либо первообразная функции J(z). Пример 2. Вычислить интеграл 4 Подынтегральная функция / аналитична всюду, первообразная. Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получим, что Пример 3. Для вычисления интеграла где выберем в качестве пути интегрирования кусочно-гладкую кривую

В. Тогда в каждой внутренней точке z обтсти D у функции f(z) существуют производные всех порядков и имеют место формулы Убедимся сначала в справедливости формулы (31) при п = 1. Рассмотрим разностное отношение Применяя формулу Коши для значений функции f(z) в точках области D, запишем его в следующем виде: Как можно показать, при функция ^тгл frj равномернодля всехточек на кривой Г. Поэтому существует предел Отсюда и из соотношения (32) вытекает существование производной функции f(z) и формула Предполагая формулу (31) верной для некоторого к = п, точно такими же рассуждениями можно доказать ее справедливость для Замечание. Формулу (31) можно доказать также путем n-кратного дифференцирования равенства по параметру г . При этом дифференцирование в правой части равенства (34) должно проводитъея под знаком интеграла.