В этой главе рассматриваются алгебраические уравнения степени т.е. уравнения вида

и алгебраические неравенства степени т.е. неравенства вида

где — многочлен степени т.е.

При решении алгебраических уравнений и неравенств часто приходится разлагать многочлен на множители, поэтому § 1.1 посвящен этому вопросу.

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов. В этом параграфе приводятся некоторые методы

разложения многочленов в произведение множителей первой и второй степени, поскольку знания такого разложения достаточно для решения алгебраических уравнений и неравенств.

Решение. Все члены данного многочлена содержат общий множитель х. Вынося его за скобки, получим разложение данного многочлена на множители

Иногда многочлен можно разложить на множители, используя формулы сокращенного умножения:

Решение. Применяя формулу имеем

Решение. Применяя формулу имеем

Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом выделения полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов.

Решение. Выделяя полный квадрат, а затем применяя формулу разности квадратов, имеем

Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшего объединения в группы таким образом, чтобы после вынесения (если это можно) общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем для каждой группы.

Решение. Объединим в одну группу первое и второе слагаемые, а в другую — третье и четвертое слагаемые. Тогда имеем Вынося из первой скобки множитель а из второй скобки получаем Наконец, вынося за скобку общий множитель получаем, что и, наконец, вынося скобки множитель получим, что

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей — многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

1) два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях

2) любой многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратного множителей;

3) любой многочлен четвертой степени разлагается в произведение двух многочленов второй степени.

Решение. Будем искать многочлены такие, что справедливо тождественное равенство

Правую часть этого равенства можно записать в виде

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства (1), получаем систему равенств

Легко видеть, что этим равенствам удовлетворяют числа а это означает, что многочлен разлагается на множители .

Иногда при разложении многочлена на множители бывают полезными следующие утверждения:

1) если многочлен , с целыми коэффициентами имеет рациональный корень — несократимая дробь, то — делитель свободного члена — делитель старшего коэффициента

2) если каким-либо образом подобран корень многочлена степени то многочлен можно представить в виде где — многочлен степени

Многочлен можно найти либо делением многочлена на двучлен “столбиком”, либо соответствующей группировкой слагаемых многочлена и выделением из них множителя либо методом неопределенных коэффициентов.

Решение. Поскольку коэффициент при равен 1, то рациональные корни данного многочлена, если они существуют.

являются делителями числа т.е. могут быть целыми числами . Обозначим данный многочлен через Так как , то числа не являются корнями многочлена . Поскольку то является корнем многочлена значит, данный многочлен делится на двучлен Поэтому

Следовательно, Так как , то .

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода поясним на следующем примере. Пример 8. Разложить на множители многочлен

который при превращается в заданный многочлен. Запишем этот многочлен как квадратный трехчлен относительно а:

Так как корни этого квадратного относительно а трехчлена есть то справедливо равенство

Следовательно, многочлен разлагается на множители т.е.

В некоторых случаях путем замены выражения входящего в многочлен через молено получить многочлен относительно у, который уже легко разложить на множители. Затем после замейы у на получаем разложение на множители многочлена

РЕШЕНИЕ. Преобразуем данный многочлен следующим образом:

Обозначим через у. Тогда имеем

Решение. Обозначим через у. Тогда

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выпке методов.

Решение. Применяя группировку, перепишем многочлен в виде

Применяя к первой скобке метод выделения полного квадрата, имеем

Применяя формулу полного квадрата, можно теперь записать, что

Наконец, применяя формулу разности квадратов, получим, что