Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов".

Признак Д'Аламбера (или признак Даламбера) используется для исследования сходимости рядов, общий член которых строго больше нуля, т.е. $u_n > 0$. Такие ряды называют строго положительными. В стандартных примерах признак Д'Аламбера используют в предельной форме.

Формулировка довольно проста, но остаётся открытым следующий вопрос: что будет, если $L=1$? Ответа на данный вопрос признак Д'Аламбера дать не в состоянии. Если $L=1$, то ряд может как сходиться, так и расходиться.

Чаще всего в стандартных примерах признак Д'Аламбера применяется, если в выражении общего члена ряда присутствуют многочлен от $n$ (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Например, $u_n=\frac<5^n\cdot(3n+7)><2n^3-1>$ (см. пример №1) или $u_n=\frac<\sqrt<4n+5>><(3n-2)!>$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ – это своеобразная "визитная карточка" признака Д'Аламбера.

Запись "n!" (читается "эн факториал") обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n, т.е.

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

Кроме того, нередко признак Д'Аламбера используют для выяснения сходимости ряда, общий член которого содержит произведение такой структуры: $u_n=\frac<3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)><2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)>$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac<5^n\cdot(3n+7)><2n^3-1>$. Так как при $n≥ 1$ имеем $3n+7 > 0$, $5^n>0$ и $2n^3-1 > 0$, то $u_n > 0$. Следовательно, наш ряд является строго положительным.

Проверять выполнение необходимого условия сходимости здесь несколько затруднительно, поэтому эту проверку мы пропустим.

Что мы можем сказать про общий член ряда? Он содержит многочлены $3n+7$, $2n^3-1$ и степень $5^n$. Это сразу наводит на мысль о применении признака Д'Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $\frac>$. Общий член ряда у нас есть, вот он: $u_n=\frac<5^n\cdot(3n+7)><2n^3-1>$. А формулу для $u_$ запишем отдельно. Чтобы записать $u_n$, нужно в формулу $u_n=\frac<5^n\cdot(3n+7)><2n^3-1>$ вместо $n$ подставить $n+1$:

При желании знаменатель можно записать без скобок, так как $2(n+1)^3-1=2n^3+6n^2+6n+1$, однако в этом нет необходимости. Итак, найдём чему же равно значение $\lim_\frac>$. При упрощении получившегося выражения учтём, что $\frac<5^><5^n>=5^=5^1=5$.

Чтобы вычислить получившийся предел, нужно разделить и числитель и знаменатель на $n^4$ (см. пример №1 на этой странице):

Честно говоря, признак Д'Аламбера – не единственный вариант в данной ситуации. Можно использовать, например, радикальный признак Коши. Однако применение радикального признака Коши потребует знания (или доказательства) дополнительных формул. Поэтому использование признака Д'Аламбера в данной ситуации более удобно.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac<\sqrt<4n+5>><(3n-2)!>$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.

Общий член ряда содержит многочлен под корнем, т.е. $\sqrt<4n+5>$, и факториал $(3n-2)!$. Наличие факториала в стандартном примере – почти стопроцентная гарантия применения признака Д'Аламбера.

Чтобы применить данный признак, нам придётся найти предел отношения $\frac>$. Чтобы записать $u_$, нужно в формулу $u_n=\frac<\sqrt<4n+5>><(3n-2)!>$ вместо $n$ подставить $n+1$:

Так как $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, то формулу для $u_$ можно записать по-иному:

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом. Если равенство с факториалами требует пояснений, то прошу раскрыть примечание ниже.

Как мы получили равенство $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? показать\скрыть

Запись $(3n+1)!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $3n+1$. Т.е. данное выражение можно записать так:

Непосредственно перед числом $3n+1$ стоит число, на единицу меньшее, т.е. число $3n+1-1=3n$. А непосредственно перед числом $3n$ стоит число $3n-1$. Ну, а непосредственно перед числом $3n-1$ имеем число $3n-1-1=3n-2$. Перепишем формулу для $(3n+1)!$:

Что представляет собой произведение $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Это произведение равно $(3n-2)!$. Следовательно, выражение для $(3n+1)!$ можно переписать в такой форме:

Эта запись удобна для дальнейшего решения, когда нам придётся сокращать дробь под пределом.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac<(2n+5)!><4^<3n+2>>$. Заданный ряд ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.

Общий член ряда содержит как факториал $(2n+5)!$, так и степень $4^<3n+2>$. Применяем признак Д'Аламбера.

Нам потребуется $u_$. Подставляя в формулу $u_n=\frac<(2n+5)!><4^<3n+2>>$ вместо $n$ выражение $n+1$, будем иметь:

Вычислим значение $\lim_\frac>$. При сокращении станем учитывать, что $(2n+7)!=(2n+5)!(2n+6)(2n+7)$ (см. примечание в предыдущем примере №2) и $\frac<4^<3n+2>><4^<3n+5>>=4^<3n+2-(3n+5)>=4^<-3>=\frac<1><4^3>=\frac<1><64>$.

Продолжение темы исследования сходимости рядов с помощью признака Д'Аламбера рассмотрим во второй и третьей частях.