Величина́ — математическое понятие, описывающее объекты, для которых может быть определено отношение неравенства и смысл операции сложения, а также выполняется ряд свойств, включая аксиомы Архимеда и непрерывности. Величина является одним из основных понятий математики.

Первоначально была определена положительная скалярная величина с отношением неравенства и операцией сложения. Среди её обобщений векторы и тензоры, для которых нельзя определить отношение неравенства, «неархимедовы» величины, для которых не выполняется аксиома Архимеда. Система действительных чисел также может рассматриваться как система величин.

Для однородных скалярных величин устанавливается отношение неравенства и смысл операции сложения. Они обладают следующими свойствами [1] :

1. для любых a и b имеет смысл только одно из трёх соотношений: или a=b, или a>b, или a<b;
2. выполняется транзитивность отношений меньше и больше, то есть если a<b и b<c, то a<c;
3. существует однозначно определённая сумма любых двух величин, то есть c=a+b;
4. выполняется коммутативность сложения, то есть a+b=b+a;
5. выполняется ассоциативность сложения, то есть a+(b+c)=(a+b)+c;
6. выполняется монотонность сложения, то есть a+b>a;
7. существует однозначно определённая возможность вычитания, то есть если a>b, то существует c, такое, что b+c=a;
8. существует возможность деления, то есть для любого а и натурального числаn, существует b, такое, что bn=a;
9. выполняется аксиома Архимеда, то есть для любых a и b существует натуральное n, такое, что a<nb;
10. выполняется аксиома непрерывности.

Величина является абстрактным понятием, которое выражает категорию количества. Скалярная величина характеризуется одним числом. [2]

С развитием математики смысл понятия величины подвергался обобщениям. Понятие было расширено на «нескалярные» величины, для которых определено сложение, но не определено отношение порядка. К ним относятся векторы и тензоры. Следующим расширением стал отказ от аксиомы Архимеда, или использование её с некоторыми оговорками (например, натуральность числа n для положительных скалярных величин). Такие величины используются в отвлечённых математических исследованиях [1] .

Кроме того, используются постоянные и переменные величины. При рассмотрении переменных величин принято говорить, что в различные моменты времени они принимают различные числовые значения [1] .

Евклид (III век до н. э.) ввёл понятие положительной скалярной величины, что являлось непосредственным обобщением таких конкретных понятий, как длина, площадь, объём, масса [1] . В пятой книге «Начал» сформулированы основные свойства величины (возможно, она принадлежит перу Евдокса), в седьмой книге рассматриваются числа и даётся определение величины, в десятой книге рассматриваются соизмеримые и несоизмеримые величины [3] . Древнегреческие математики развили теорию измерения величин, основанную на первых девяти свойствах величины (включая аксиому Архимеда) [1] .

Род величины связан со способом сравнения объектов. Например, понятие длины вытекает из сравнения отрезков с помощью наложения: отрезки имеют одинаковую длину, если совпадают при наложении, и длина одного отрезка меньше длины другого, если при наложении первый отрезок не покрывает второй целиком. Сравнение плоских фигур приводит к понятию площади, пространственных тел — объёма [1] . Свои соображения Евклид иллюстрировал операциями с отрезками, но сам при этом рассматривает величины как абстрактные понятия. Его теория применяется к углам и времени [3] .

Греческие математики рассматривали величины, которые можно было измерить линейкой с единичной длиной и циркулем [3] . Система всех длин, находящихся в рациональном отношении к единичной длине, удовлетворяет требованиям 1-9, но не охватывает систему всех длин вообще. Открытие существования несоизмеримых отрезков приписывается Пифагору (VI век до н. э.) [1] . Арабские математики рассматривали более сложные величины, в частности, решали кубические уравнения геометрическими методами [3] . Для полного определения системы положительных скалярных величин была введена аксиома непрерывности. В результате все величины системы однозначно представляются в виде a=αl, где α — положительное действительное число, а l — единица измерения [1] .

Следующим этапом стало рассмотрение направленных отрезков на прямой и противоположно направленных скоростей. Если к системе положительных скалярных величин добавить нуль и отрицательные величины, то полученное обобщение, получившее название скалярной величины, является основным в механике и физике. В таком обобщении — это любое действительное число (положительное, отрицательное или равное нулю). Данное обобщение прибегает к понятию числа, но того же можно добиться изменением в формулировке свойств [1] .

В XVII вещественные числа тесно ассоциировались с понятием величины, а математика считалась наукой о величинах [4] .