Степенные ряды, которые мы и станем использовать, сходятся равномерно, поэтому их можно почленно интегрировать по любому отрезку, лежащему внутри интервала сходимости. Схема решения подобных задач на вычисление интегралов с помощью рядов проста:

1. Разложить подынтегральную функцию в функциональный ряд (обычно в ряд Маклорена).
2. Произвести почленное интегрирование членов записанного в первом пункте функционального ряда.
3. Вычислить сумму полученного во втором пункте числового ряда с заданной точностью $\varepsilon$.

Задачи на вычисление интегралов с помощью рядов популярны у составителей типовых расчётов по высшей математике. Поэтому в данной теме мы разберём пять примеров, в каждом из которых требуется вычислить определенный интеграл с точностью $\varepsilon$.

Вычислить $\int\limits_<0>^<\frac<1><2>>e^<-x^2>dx$ с точностью до $\varepsilon=10^<-3>$.

Сразу отметим, что интеграл $\int e^<-x^2>dx$ не берётся, т.е. первообразная подынтегральной функции не выражается через конечную комбинацию элементарных функций. Иными словами, стандартными способами (подстановка, интегрирование по частям и т.д.) первообразную функции $e^<-x^2>$ найти не удастся.

Для таких задач есть два варианта оформления, поэтому рассмотрим их отдельно. Условно их можно назвать "развёрнутый" и "сокращённый" варианты.

Данное разложение верно при всех $x\in$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:

Интегрируем полученное разложение на отрезке $\left[0;\frac<1><2>\right]$:

Получили сходящийся знакочередующийся ряд. Это значит, что если для вычисления приближенного значения заданного интеграла взять $k$ членов полученного ряда, то погрешность не превысит модуля $(k+1)$-го члена ряда.

Согласно условию, точность $\varepsilon=10^<-3>$. Так как $\frac<1><42\cdot<2^7>>=\frac<1><5376><10^<-3>$, то для достижения требуемой точности достаточно ограничиться первыми тремя членами знакочередующегося ряда:

Погрешность полученного равенства не превышает $\frac<1><5376>$.

Однако суммировать обычные дроби – дело утомительное, поэтому чаще всего расчёты ведут в десятичных дробях:

Разумеется, в этом случае нужно учитывать погрешность округления. Первое слагаемое (т.е. $0<,>5$) было рассчитано точно, поэтому никакой погрешности округления там нет. Второе и третье слагаемые брались с округлением до четвёртого знака после запятой, посему погрешность округления для каждого из них не превысит $0,0001$. Итоговая погрешность округления не превысит $0+0<,>0001+0<,>0001=0<,>0002$.

Следовательно, суммарная погрешность равенства $\int\limits_<0>^<\frac<1><2>>e^<-x^2>dx\approx<0<,>461>$ не превысит $0<,>0002+\frac<1><5376><10^<-3>$, т.е. значение интеграла вычислено с требуемой точностью.

Отмечу, что большинство авторов методичек и учебных пособий не учитывают погрешность округления, хоть это и не совсем корректно. В дальнейших примерах данной темы я буду упоминать про эту погрешность, если она возникнет.

Данное разложение верно при всех $x\in$. Подставим $-x^2$ вместо $x$:

Интегрируем полученный ряд на отрезке $\left[0;\frac<1><2>\right]$:

Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $\varepsilon$):

Все рассуждения, что были сделаны относительно погрешностей в развёрнутом варианте оформления остаются в силе, т.е. $\int\limits_<0>^<\frac<1><2>>e^<-x^2>dx\approx\frac<1><2>-\frac<1><3\cdot<2^3>>+\frac<1><10\cdot<2^5>>\approx<0<,>461>$.

Во-первых, нам не нужно угадывать, сколько членов ряда взять в изначальном разложении, чтобы вычислить определенный интеграл с заданной точностью. Например, мы записали в самом начале решения:

Однако почему мы решили, что нужно взять именно четыре члена ряда? А вдруг нужно взять два члена ряда или пять, или сто? Если бы только шестой член ряда оказался меньше чем $\varepsilon$, – что тогда? А тогда пришлось бы возвращаться в самое начало решения, добавлять ещё пару членов ряда и интегрировать их. А если и этого не хватит, то проделать эту процедуру ещё раз.

Сокращённый вид записи таким недостатком не страдает. Мы получаем числовой ряд, записанный в общем виде, поэтому можем брать столько его членов, сколько потребуется.

Далее, при интегрировании в развёрнутом способе записи мы находили первообразную четыре раза. При интегрировании в сокращённом способе записи, по сути, мы нашли лишь первообразную для $x^<2n>$.

Исходя из вышеперечисленных причин, я предпочитаю именно сокращённый способ записи. В дальнейнем все решения в этой теме будут оформлены в сокращённой форме.

Вычислить определённый интеграл $\int\limits_<0>^<0<,>2>\frac<1-\cos\frac<5x><3>>dx$ с точностью до $\varepsilon=10^<-3>$, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и проинтегрировав почленно.

Начнём с разложения подынтегральной функции $\frac<1-\cos\frac<5x><3>>$ в ряд Маклорена. Запишем разложение функции $\cos$ в ряд Маклорена:

Данное разложение верно при всех $x\in$. Подставим вместо $x$ дробь $\frac<5x><3>$:

Интегрируем данное разложение на отрезке $\left[0;\frac<1><5>\right]$:

Получили знакочередующийся ряд. Запишем несколько первых членов этого ряда (до тех пор, пока записанный член не станет меньше $\varepsilon$):

Так как $\frac<1><7776><\varepsilon$, то для вычисления интеграла с точностью $\varepsilon$ достаточно первого члена полученного числового ряда:

Продолжение темы вычисления интегралов с помощью рядов Маклорена продолжим во второй части.