Рассмотрим операции над комплексными числами записанными в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

Два комплексных числа и называются равными, если , т.е. равны их действительные и мнимые части.

Два комплексных числа в тригонометрической форме и называются равными, если . То есть, если равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное .

Аналогично для чисел в показательной форме : два комплексных числа равны, если .

Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме и определяется следующим образом: суммой чисел и является число

Т.е. выполняется непосредственное суммирование действительных и мнимых частей.

Действительная и мнимая части комплексного числа равны и , соответственно.

Подробнее про сложение комплексных числе читайте в отдельной статье: Сложение комплексных чисел.

Вычитание комплексных чисел также осуществляется в алгебраической форме. Разность двух чисел и является число

Таким образом, чтобы вычесть из одного числа другое, выполняется непосредственное вычитание действительных и мнимых частей.

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме и выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы :

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

Для произведения комплексных чисел в показательной форме выполняется следующее равенство:

Подробнее про умножение комплексных чисел читайте в отдельной статье: Умножение комплексных чисел.

Частное комплексных чисел в алгебраической форме и находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число:

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

Подробнее про деление комплексных чисел читайте в отдельной статье: Деление комплексных чисел.

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула Муавра:

В показательной форме комплексные числа возводятся в степень по следующей формуле:

Подробнее про возведение в степень читайте в отдельной статье: Возведение в степень комплексного числа.

Для извлечения корня из комплексного числа применяют аналогичным образом формулу Муавра (если число не равно нулю):

Модулем комплексного числа является число:

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид: .

Тогда корень 3-й степени находится следующим образом:

Для получаем:

Для получаем:

Для получаем: